针对您提出的女职工55岁生日当月解除劳动合同的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动法规定及具体情境判断的复杂问题。以下是我根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，为您提供的详细分析：
一、无需支付经济补偿的情形
达到法定退休年龄并享受养老保险待遇：
- 如果这位女职工已经年满55周岁（假设她属于女干部或符合特定地区、政策下的55岁退休标准），并且已经开始依法享受基本养老保险待遇，那么根据《劳动合同法》第四十四条，她的劳动合同将自然终止。在这种情况下，用人单位无需支付经济补偿。
员工存在过错：
- 如果女职工在劳动合同期间存在如试用期间不符合录用条件、严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等行为，用人单位可以依据《劳动合同法》第三十九条合法解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
二、需支付经济补偿的情形
协商一致解除：
- 如果用人单位与女职工协商一致决定解除劳动合同，那么根据《劳动合同法》第三十六条和第四十六条，用人单位应当按照女职工在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向她支付经济补偿。如果工作年限不满半年，则支付半个月工资；半年以上不满一年的，按一年计算。
无过失性辞退：
- 如果女职工因病或非因工负伤无法继续工作，或者不能胜任工作经过培训或调岗后仍不能胜任，或者劳动合同订立时的客观情况发生重大变化导致合同无法履行且双方未达成变更协议，用人单位在提前三十日以书面形式通知女职工本人或者额外支付她一个月工资后，可以解除劳动合同，并需支付经济补偿。经济补偿的标准同样按照工作年限计算。
经济性裁员：
- 如果用人单位因生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或经营方式调整等经济原因需要裁减人员，并且符合《劳动合同法》第四十一条规定的条件，用人单位在提前向工会或者全体职工说明情况、听取工会或者职工的意见、并向劳动行政部门报告后，可以进行裁员。在这种情况下，被裁减的女职工也有权获得经济补偿。
三、违法解除劳动合同的情形
- 如果用人单位违反《劳动合同法》的规定解除或终止与女职工的劳动合同，比如无故辞退她，那么根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位需要按照经济补偿标准的二倍向女职工支付赔偿金。
结论与建议
在处理这类问题时，首先需要明确女职工是否已经达到法定退休年龄并开始享受养老保险待遇，以及她是否存在过错行为。如果劳动合同因合法原因终止或女职工存在过错，用人单位通常无需支付经济补偿。如果双方协商一致、女职工无过失性辞退或经济性裁员，用人单位则需按规定支付经济补偿。如果用人单位违法解除劳动合同，则需支付双倍赔偿金。
由于劳动法问题往往涉及具体的情境和细节，我建议您在实际操作中咨询专业的法律人士或当地的劳动仲裁机构，以确保您的权益得到合法合规的保护。希望这个解答能对您有所帮助！