核心结论：私人开的超市未签合同、未买保险，员工受伤后超市仍需承担赔偿责任，赔偿范围和标准需根据实际情况确定，具体分析如下：

1. 未签劳动合同不影响劳动关系认定
   根据《劳动合同法》及《关于确立劳动关系有关事项的通知》，即使未签书面合同，只要员工实际为超市提供劳动、接受管理并获取报酬，双方即构成事实劳动关系。员工受伤后，超市仍需按工伤标准赔偿。
   关键点：保留工资支付记录（如转账凭证）、工作证、考勤记录、同事证言等证据，证明劳动关系存在。

2. 未买工伤保险，超市需全额承担工伤赔偿
   超市未依法缴纳工伤保险，根据《工伤保险条例》第六十二条，所有工伤赔偿项目（如医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等）均由超市自行承担。
   赔偿范围参考：

   • 医疗费：实际支出费用（需符合诊疗目录）；
     
   • 停工留薪期工资：原工资福利待遇不变，按受伤前12个月平均工资计算；
     
   • 伤残补助金：根据伤残等级（一至十级）支付一次性伤残补助金（如十级为7个月本人工资）；
     
   • 护理费、住院伙食补助费等：按当地标准计算。

3. 若超市否认劳动关系或拒绝赔偿

   • 步骤一：申请劳动仲裁确认劳动关系（需提交前述证据）；
     
   • 步骤二：向社保部门申请工伤认定（需在受伤后1年内提出）；
     
   • 步骤三：根据工伤认定结果，向超市主张赔偿；若超市仍不履行，可申请法院强制执行。
     提示：若超市为个体工商户，其经营者需以个人财产承担赔偿责任；若超市已注销，可追究原经营者责任。

4. 特殊情形：非劳动关系（如临时工、承包关系）
   若员工与超市构成劳务关系（如短期帮忙、非全日制用工），则不适用工伤赔偿，但超市仍需按《民法典》第一千一百九十二条承担人身损害赔偿责任，赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费等。
   区分关键：劳务关系中，员工不受超市规章制度约束，工作时间、方式更灵活。

行动建议：

1. 立即收集证据（如工资记录、工作照片、证人联系方式）；
   
2. 优先与超市协商赔偿，明确赔偿项目和金额；
   
3. 若协商无果，尽快申请劳动仲裁和工伤认定，避免超过时效；
   
4. 赔偿金额较大或超市拒不配合时，可委托律师介入处理。
   

如有进一步疑问或需要具体计算赔偿金额，可直接向我咨询。