在行政赔偿案件终审后，当事人既可以选择申请监察监督，也可以选择申请抗诉，但两者在性质、目的、程序及法律后果上存在显著差异，需根据具体情况选择适用。以下是对这两种途径的详细分析：
申请监察监督
性质与目的：
- 监察监督是监察机关对公职人员依法履职、秉公用权、廉洁从政从业以及道德操守情况进行监督检查的活动。在行政赔偿案件中，若认为行政机关或其工作人员存在违法违纪行为，导致赔偿决定不公或存在其他违法行为，可以向监察机关提出监督申请。
- 其目的在于纠正违法违纪行为，维护公职人员的廉洁性和行政机关的公正性。
程序：
- 当事人需向监察机关提交书面申请，说明申请监督的理由、事实和证据。
- 监察机关将依法进行调查核实，并根据调查结果作出相应处理。
法律后果：
- 若监察机关查实存在违法违纪行为，将依法对相关责任人员进行处分，并可能建议行政机关重新审查赔偿决定。
- 但监察监督并不直接改变行政赔偿案件的终审判决结果。
申请抗诉
性质与目的：
- 抗诉是人民检察院对人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现确有错误，依法提请人民法院重新审理的诉讼活动。在行政赔偿案件中，若认为终审判决存在错误，可以向人民检察院提出抗诉申请。
- 其目的在于纠正错误的判决，维护当事人的合法权益和法律的正确实施。
程序：
- 当事人需向人民检察院提交书面抗诉申请，说明抗诉的理由、事实和证据。
- 人民检察院将依法进行审查，认为符合抗诉条件的，将向人民法院提出抗诉。
- 人民法院将依法组成合议庭重新审理案件，并作出新的判决。
法律后果：
- 若人民检察院提出抗诉，且人民法院经重新审理认为原判决确有错误，将依法改判或撤销原判决，作出新的判决。
- 抗诉是直接针对终审判决的救济途径，有可能改变原判决的结果。
选择建议
- 若主要关注行政机关或其工作人员的违法违纪行为，且希望对此进行纠正和处分，可以选择申请监察监督。
- 若主要关注终审判决的错误，且希望法院重新审理并作出新的判决，可以选择申请抗诉。
- 在实际操作中，当事人也可以同时考虑两种途径，但需注意两者在程序上的独立性和可能产生的法律后果的不同。
最后需要强调的是，无论是申请监察监督还是申请抗诉，都需要当事人提供充分的证据和理由来支持其申请。因此，在做出决定前，建议当事人仔细分析案件情况，咨询专业律师（如我）的意见，以确保选择最适合自己的救济途径。