在行政诉讼中，关于申请抗诉还是申请检察监督，这主要取决于案件的具体情况和法律规定。以下是对两者的详细解释及建议：

一、申请抗诉

抗诉的定义与适用情形： 抗诉是指人民检察院对人民法院已经发生法律效力的判决、裁定，发现有法定再审情形时，依法向人民法院提出重新审理的要求。在行政诉讼中，若原判决、裁定适用法律、法规确有错误，或审判人员在审理该案件时有贪污受贿、徇私舞弊行为等情形，地方各级人民检察院应当提请上一级人民检察院抗诉。

申请抗诉的程序：

1. 当事人需向有管辖权的人民检察院递交抗诉申请书及相关证据材料。
2. 检察官会对申请材料进行形式审查和实质审查，包括案件事实、证据、法律适用以及审判程序等方面。
3. 若检察官认为符合抗诉条件，会提请上一级人民检察院向同级人民法院提出抗诉。

二、申请检察监督

检察监督的定义与适用情形： 检察监督是人民检察院对行政诉讼活动进行的全面审查，包括提出再审检察建议、提出检察建议、不支持监督申请等多种方式。对于不予立案或驳回起诉确有错误、有新证据足以推翻原判决、裁定等情形，地方各级人民检察院可以向同级人民法院提出再审检察建议。

申请检察监督的程序：

1. 当事人向人民检察院提出监督申请，并提交相关证据材料。
2. 检察官会对案件进行全面审查，包括审查申请监督的理由、争议焦点等。
3. 根据案件具体情况，检察官会作出提请抗诉、提出再审检察建议、提出检察建议等决定。

三、选择建议

在行政诉讼中，申请抗诉和申请检察监督都是当事人维护自身合法权益的重要途径。具体选择哪种方式，需根据案件的具体情况和法律规定来判断。

1. 若案件存在明显的法律适用错误或审判人员有违法违纪行为，建议优先考虑申请抗诉，因为抗诉是针对判决、裁定的直接纠正方式。
2. 若案件存在程序性错误或新证据等情形，且这些情形可能影响到判决、裁定的公正性，可以考虑申请检察监督，通过再审检察建议等方式促使法院重新审理案件。

综上所述，在行政诉讼中申请抗诉还是申请检察监督，需根据案件的具体情况和法律规定来综合判断。若您对此有疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。