结论前置：无固定期限劳动合同的员工在特定法定情形下是可以被开除的，但用人单位必须严格遵守法律规定的程序和条件。

一、无固定期限劳动合同的定义与特点

无固定期限劳动合同，是指用人单位与劳动者约定无确定终止时间的劳动合同。这种合同为员工提供了相对稳定的职业保障，但并不意味着用人单位不能解除劳动合同。双方需根据实际需要和协商一致的原则，依法履行或终止合同。

二、开除员工的法定情形

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在以下情形下可以解除与劳动者的无固定期限劳动合同：

1. 员工有过错：
   • 在试用期间被证明不符合录用条件的；
   • 严重违反用人单位的规章制度的，例如，员工在工作场所赌博，严重违反了公司规定；
   • 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，如财务人员因疏忽导致公司重大经济损失；
   • 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
   • 因欺诈手段订立劳动合同，如提供虚假学历证书，致使劳动合同无效的；
   • 被依法追究刑事责任的，如员工因犯罪被判处有期徒刑。

在这些情况下，用人单位解除合同是合法的，且无需支付任何经济补偿。

1. 经济性裁员：
   • 依照企业破产法规定进行重整的；
   • 生产经营发生严重困难的；
   • 企业转产、重大技术革新或者经营方式调整，经变更劳动合同后，仍需裁减人员的；
   • 其他因劳动合同订立时所依据的客观经济情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行的。

在进行经济性裁员时，虽然涉及支付经济补偿，但具体金额和支付方式需按法律规定执行，且应优先留用与本单位订立无固定期限劳动合同的员工。

1. 无过失性辞退：
   • 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
   • 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位后仍不能胜任工作的；
   • 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。

在这些情况下，用人单位需要提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资，并支付经济补偿金给员工。

三、开除员工的程序与补偿

1. 提前通知或额外支付工资：用人单位因法定原因辞退劳动者时，应提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资。

2. 支付经济补偿金：

   • 若用人单位提出解除无固定期限劳动合同且符合法定情形，通常需要向劳动者支付经济补偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

3. 违法辞退的赔偿：若用人单位违法辞退劳动者，即不存在法定辞退理由而单方面解除劳动合同，用人单位应按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

四、员工权益保护

员工若认为用人单位的解除行为违法，可通过劳动仲裁、诉讼等途径来维护自己的合法权益，确保法律的公正和个人的正当权益不受侵害。

总结与建议：无固定期限劳动合同的员工在特定情况下是可以被开除的，但用人单位必须严格遵守法律规定的程序和条件。作为员工，应了解自身权益，确保在遭遇不公正对待时能够依法维权。如果您有具体的劳动纠纷问题，欢迎直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。