您有权通过劳动仲裁要求公司支付违法解除赔偿金、未签合同双倍工资差额及补缴社保，具体维权步骤如下：
一、核心法律依据与维权方向
未签劳动合同
根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月未签书面合同，需支付11个月双倍工资差额（您工作6年，可主张第2个月至第12个月的差额）。
注：若超过1年未签合同，视为已订立无固定期限合同，但双倍工资差额仍可主张至第12个月。
未缴纳社保
根据《社会保险法》第58条、第63条，用人单位必须为员工缴纳社保。您可要求公司补缴6年社保（含养老、医疗、失业、工伤、生育保险），若无法补缴，可主张社保损失赔偿（需通过社保部门或法院核算具体金额）。
违法解除劳动关系
若公司无合法理由（如严重违纪、不能胜任工作等）突然辞退您，属于违法解除。根据《劳动合同法》第87条，您有权主张2倍经济补偿金（即12个月工资，经济补偿金按工作年限×月工资计算，6年应为6个月工资）。
二、具体维权步骤
收集证据
- 劳动关系证明：工资条、银行流水、工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件/聊天记录等。
- 辞退证明：辞退通知、录音、聊天记录等（若公司口头辞退，需通过其他证据佐证）。
- 社保未缴证明：到当地社保局打印《社保缴费记录》，证明公司未缴费。
申请劳动仲裁
- 时效：自知道权益受损之日起1年内（如被辞退后1年内）。
- 仲裁请求：
- 确认劳动关系（若公司否认）；
- 支付未签合同双倍工资差额（11个月工资）；
- 支付违法解除赔偿金（12个月工资）；
- 补缴社保（或赔偿社保损失）。
- 材料：仲裁申请书、身份证复印件、证据材料（一式两份）。
执行与后续
- 若仲裁胜诉，公司不履行，可向法院申请强制执行。
- 若对仲裁结果不服，可在15日内向法院起诉。
三、注意事项
- 双倍工资差额的时效：部分地区（如北京、上海）认为，双倍工资差额属于“惩罚性赔偿”，仲裁时效自用工满1年起算1年（即您需在用工第2年结束前主张，否则可能过期）。但部分地区（如广东）认为，每月双倍工资差额的时效单独计算（即您可主张最近11个月的差额）。建议尽快申请仲裁，避免时效风险。
- 社保补缴的特殊性：社保补缴需通过社保部门稽核或劳动监察大队处理，仲裁委/法院一般不直接处理补缴，但可确认公司需补缴的义务，您可凭裁决书要求社保部门强制执行。
- 月工资标准：经济补偿金、双倍工资差额的“月工资”指离职前12个月平均工资（含奖金、津贴等），若高于当地社平工资3倍，按3倍计算。
建议：尽快整理证据并申请仲裁，避免证据灭失或时效过期。若公司提出协商赔偿，需在协议中明确赔偿项目（如双倍工资、赔偿金、社保补偿等），防止后续纠纷。如有疑问，可进一步向我咨询具体操作细节。