结论：员工在休息时间发病，公司是否承担责任需视具体情况而定，主要依据《工伤保险条例》及相关法律法规进行评判。以下从构成工伤和不构成工伤两种情形进行详细分析：
一、构成工伤的情形
时间与岗位界定：
- 根据《工伤保险条例》第十五条的规定，若员工在工作时间和工作岗位，突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，应视同工伤。这里的“工作时间”不仅指正常工作时间，还包括加班加点时间；“工作岗位”不仅限于职工日常工作的固定位置，也包括单位领导指派所从事工作的任何地点。若休息时间仍属于工作准备或收尾阶段，且符合上述条件，也可能被认定为工伤。
责任承担：
- 若员工在单位的工作时间和工作岗位的合理延伸范围内突发疾病，并在48小时内抢救无效死亡，则应视同工伤。此时，公司需承担工伤责任，包括支付丧葬补助金、一次性工亡补助金、供养亲属抚恤金等费用。
- 若公司为员工缴纳了工伤保险，则大部分赔偿费用由工伤保险基金支付；同时，公司可能还需承担停工留薪期工资、五六级伤残职工按月领取的伤残津贴等额外费用。
- 若公司未缴纳工伤保险，则全部费用需由公司自行承担。
二、不构成工伤的情形
医疗保险与病假：
- 若员工在单位休息时突发疾病，但不符合上述视同工伤的条件（如疾病未导致严重后果，或超过48小时抢救期限等），则通常不被认定为工伤，公司无需承担工伤赔偿责任。
- 即便不被认定为工伤，若员工参加了基本医疗保险，因治疗疾病产生的医疗费用可按医疗保险规定报销。
- 员工可根据实际情况向公司申请病假或医疗期，公司应按相关法律法规批准并给予相应处理。
人道主义关怀与救助义务：
- 虽然不构成工伤，但公司在道义上可给予一定的人道主义关怀或帮助。
- 公司在员工发病时应提供必要的救助协助，如及时拨打急救电话等。若公司存在过错（如未及时救助导致病情恶化），则需根据其过错程度承担相应的赔偿责任。
综合建议：
- 对于员工而言，在休息时间发病时，应及时就医并保留好相关医疗证明，以便后续维权。
- 对于公司而言，在处理此类事件时，应综合考虑法律法规、公司政策及人文关怀等多方面因素。若员工病情符合工伤认定条件，公司应积极配合办理工伤认定手续并承担相应责任；若不符合工伤认定条件，公司也应关注员工的健康状况，提供必要的协助与人道主义关怀。
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