三人合伙开美容院，其中一人退出时的财产分割及后续处理，应首先依据合伙协议进行；若无协议或协议不明确，则需通过协商确定，并确保公平合理。以下是具体分析：

一、查看合伙协议

合伙协议是处理退伙事宜的首要依据，它通常包含退伙条件、程序及财产分配方式等关键条款。

1. 有明确约定：

   • 若合伙协议中明确规定了退伙时的财产分配方式，如按出资比例分配、固定价格回购等，则应按照协议内容执行。

2. 无明确约定或约定不明：

   • 若合伙协议中没有明确规定退伙时的财产分配方式，或者规定不明确，那么应由合伙人之间协商决定。在协商过程中，应充分考虑出资比例、经营贡献、市场价值等因素，确保分配方案公平合理。

二、进行财产清算

财产清算是确定退伙人财产份额的基础，包括核算资产、负债，并计算净资产。

1. 核算资产：

   • 固定资产：如美容院的场地、设备、家具、装修等，需评估其市场价值。
   • 流动资产：如现金、银行存款、应收账款、库存商品等，需统计其价值。

2. 核算负债：

   • 清查对外债务，包括应付账款、银行贷款、员工工资等，确保债务得到妥善处理。

3. 计算净资产：

   • 净资产 = 总资产 - 总负债，作为财产分配的依据。

三、确定退伙人的财产份额

根据清算结果和合伙协议（或协商结果），确定退伙人的财产份额。

1. 按照出资比例分配：

   • 若无特别约定，通常按初始出资比例分配退伙人的财产份额。

2. 考虑经营贡献分配：

   • 除出资外，还可根据合伙人在经营中的贡献大小调整分配比例。这需要合伙人之间协商一致，并确保分配方案公平合理。

四、处理后续事宜

1. 签订退伙协议：

   • 明确退伙时间、财产分配方式、债务承担等关键条款，避免后续纠纷。

2. 办理变更手续：

   • 根据美容院性质，办理工商登记变更，去除退伙人信息，确保美容院合法运营。

3. 债务承担：

   • 退伙人对退伙前的合伙企业债务承担无限连带责任。因此，在退伙协议中应明确债务分担方式，确保债务得到妥善处理。

五、争议解决

若合伙人无法就财产分配达成一致，可通过以下途径解决：

1. 调解：

   • 寻求第三方调解机构协助，如商会、行业协会等，以达成双方都能接受的解决方案。

2. 仲裁：

   • 若合伙协议中有仲裁条款，可根据条款申请仲裁，由仲裁机构依法裁决。

3. 诉讼：

   • 若无法通过调解或仲裁解决争议，可向人民法院提起诉讼，由法院依法裁决。

在处理三人合伙开美容院其中一人退出的问题时，应严格遵循法律法规和合伙协议的约定，确保过程公平、合理、合法。若遇到复杂情况或无法协商一致时，建议及时咨询专业律师（即我本人），以获取更具体的法律建议和帮助。