结论：十年未签劳动合同，在符合一定条件下可以申请补缴社会保险，但无法要求补签这十年期间的劳动合同或主张未签书面合同的双倍工资差额（已过时效）。以下是具体分析：

1. 关于补缴社会保险
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位必须自用工之日起为员工缴纳社会保险，未缴纳的，员工有权要求补缴。即使未签书面劳动合同，只要存在事实劳动关系（如工资发放记录、考勤记录、工作证等能证明劳动关系），社保部门会责令用人单位补缴。
   操作建议：携带能证明劳动关系的材料（如工资流水、工作证、同事证言等），向当地社保稽核部门投诉，要求用人单位补缴十年社保。若单位拒绝，可申请劳动仲裁确认劳动关系后，再通过社保部门强制执行。

2. 关于补签劳动合同或主张双倍工资
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位未签书面合同需支付双倍工资，但时效为1年（从应签未签之日起算）。十年未签合同，该权利已过诉讼时效，无法再主张。
   例外情况：若能证明这十年间曾向用人单位主张过签订合同（如书面通知、聊天记录等），可能部分中断时效，但实践中举证难度极高，几乎无法支持十年期间的双倍工资。

3. 其他潜在权利

   • 经济补偿金：若因单位未缴社保等原因被迫离职，可依据《劳动合同法》第三十八条、第四十六条主张经济补偿金（按工作年限，每满1年支付1个月工资）。
     
   • 确认劳动关系：若单位否认劳动关系，需先通过劳动仲裁确认（需提供前述证明材料），这是后续维权的基础。

温馨提示：十年未签合同的情况复杂，建议尽快整理证据（如工资记录、工作证明等），先向社保部门投诉补缴社保，再根据单位态度决定是否进一步主张经济补偿金。如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程。