结论：在您描述的情况下，如果老板开除您的行为没有合法依据，您是有可能申请赔偿的。但具体能否获得赔偿，还需根据实际情况和法律规定来判断。

分析如下：

1. 劳动关系的认定：

   • 首先，需要明确的是，尽管您和老板之间存在情人关系，但这并不影响您与公司之间劳动关系的认定。只要您为公司提供了劳动，并接受了公司的管理，双方就构成了劳动关系。

2. 开除的合法性：

   • 老板开除您，必须基于合法的理由，如您严重违反公司规章制度、不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等。
   • 如果老板仅仅因为与您分手就开除您，且没有其他合法理由，那么这种开除行为很可能是违法的。

3. 赔偿的依据：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付赔偿金。
   • 赔偿金的计算通常基于您在公司的工作年限和月工资水平。具体来说，赔偿金等于您在公司的工作年限乘以月工资的两倍（如果工作年限超过半年但不足一年，按一年计算；如果不足半年，则按半个月工资计算，但此处因是违法解除，所以直接按工作年限乘以月工资的两倍来简化说明，实际计算可能需考虑更多因素）。

4. 实际操作建议：

   • 收集证据：您需要收集能够证明您与公司之间存在劳动关系、老板开除您的行为违法以及您因此遭受损失的证据，如劳动合同、工资单、开除通知、与老板的沟通记录等。
   • 申请劳动仲裁：在收集到足够证据后，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金。
   • 寻求法律帮助：如果您对劳动仲裁流程不熟悉或担心自己的权益得不到充分保障，可以寻求专业律师的帮助。

可能面临的挑战：

• 证据收集难度：由于您和老板之间存在特殊关系，证据收集可能会面临一定困难。但只要您能够提供足够证据证明劳动关系的存在和开除行为的违法性，就有可能获得赔偿。
• 公司抗辩：公司可能会提出各种抗辩理由来拒绝支付赔偿金，如您存在严重违反公司规章制度的行为等。因此，您需要做好充分的准备来应对公司的抗辩。

后续行动建议：

• 如果您决定申请劳动仲裁，建议尽快行动，以免超过仲裁时效。
• 在整个过程中，保持冷静和理性，不要因为情绪而做出不利于自己的决定。
• 如有需要，随时向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。