结论：因工作错误被开除是否能申请赔偿，需根据具体情况判断，主要看用人单位的开除行为是否合法。以下从不同角度为你详细分析：

用人单位合法开除的情况

如果员工因工作错误给用人单位造成了重大损害，或者严重违反了用人单位的规章制度，用人单位依据合法有效的规章制度开除员工，这种开除行为是合法的。在这种情况下，员工通常不能申请赔偿。

根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件的；
2. 严重违反用人单位的规章制度的；
3. 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
4. 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
5. 因本法第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效的；
6. 被依法追究刑事责任的。

例如，小李是一家工厂的工人，在工作过程中因疏忽大意，导致机器严重损坏，给工厂造成了数十万元的经济损失，且工厂的规章制度中明确规定，因工作失误造成重大损失的，可以解除劳动合同。那么工厂依据该规定开除小李，就是合法的，小李不能申请赔偿。

用人单位违法开除的情况

如果用人单位没有合法依据，仅以工作错误为由开除员工，或者开除的程序不合法，那么这种开除行为就是违法的。在这种情况下，员工可以申请赔偿。

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。

第八十七条规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

经济补偿的计算公式为： [经济补偿 = 工作年限 \times 月工资] 其中，工作年限满一年的按一年计算；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

赔偿金的计算公式为： [赔偿金 = 2 \times 经济补偿 = 2 \times 工作年限 \times 月工资]

例如，小张在一家公司工作了3年，月工资为5000元。公司仅以小张工作出现小错误为由，没有合法依据就开除了他。那么小张可以要求公司支付赔偿金，赔偿金的数额为：(2 \times 3 \times 5000 = 30000)元。

如果你遇到了因工作错误被开除的情况，不确定用人单位的开除行为是否合法，或者不知道如何申请赔偿，可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律建议和帮助。