您可以根据具体情况，要求私人老板进行相应的赔偿。具体分析如下：

一、若存在违法解除劳动合同的情形

根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

应用公式：赔偿金 = 2 × 经济补偿 = 2 × (工作年限 × 月工资)（工作年限不满六个月的，按半个月工资计算经济补偿；六个月以上不满一年的，按一个月工资计算）

举例：如果您在该私人老板处工作了一个月，且月工资为5000元，由于老板违法解除劳动合同，您应获得的赔偿金为：2 × (0.5 × 5000) = 5000元（工作不满六个月，按半个月工资计算经济补偿，再双倍赔偿）。但实际操作中，由于工作年限较短，可能直接按一个月工资的双倍，即10000元中的合理部分（考虑到实际工作情况，可能不会完全按公式计算满一个月的双倍，但理论上您有权主张这样的赔偿逻辑）进行协商或主张，具体需结合实际情况和证据。更合理的期待可能是主张一个月工资作为违法解除的赔偿（若严格按法律逻辑推导至极限情况非实际处理方式，实际中多基于双方协商及证据情况）。此处为便于理解，简化表述为：理论上您有权主张因违法解除而产生的相当于一定月工资数额的赔偿，具体数额需结合实际情况判定，但可明确的是您有权要求赔偿。

二、若未签订书面劳动合同

根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

应用公式：二倍工资差额 = 月工资 × 未签订书面劳动合同的月数

举例：如果您在该私人老板处工作了一个月，且未签订书面劳动合同，月工资为5000元，则您有权要求老板支付5000元的二倍工资差额（即除已支付的5000元工资外，再支付5000元）。但需注意，由于您仅工作了一个月，此处的“未签订书面劳动合同的月数”为1个月（若超过一个月则按实际月数计算），且需保留好相关证据以证明劳动关系及工资数额。

三、其他可能的赔偿或补偿

1. 未休年假工资：如果符合享受年假的条件而未休，可以要求支付未休年假的工资报酬。但考虑到您仅工作了一个月，此条可能不适用。
2. 加班费：如果在工作期间存在加班情况，且老板未支付加班费，可以要求支付相应的加班费。

行动建议

1. 收集证据：保留好与老板的沟通记录、工资支付凭证、工作证等能够证明劳动关系及工资数额的证据。
2. 与老板协商：尝试与老板进行协商，看是否能够达成赔偿或补偿的协议。
3. 申请劳动仲裁：如果协商无果，可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求老板支付相应的赔偿或补偿。

在处理此类纠纷时，请务必保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。如果您在处理过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。