用人单位未与员工签订劳动合同且违法辞退的，员工可通过以下途径维权，核心结论如下：

1. 主张未签劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付2倍工资（扣除已支付的1倍）。

   • 计算方式：若员工工作满6个月（如6个月整），可主张5个月双倍工资差额（第2个月至第6个月，共5个月×9000元=45000元）；若不足6个月，按实际未签合同月数计算。
     
   • 时效限制：需在离职后1年内申请劳动仲裁，否则可能丧失胜诉权。

2. 主张违法解除劳动合同的赔偿金
   根据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条，用人单位违法解除劳动合同的，需支付2倍经济补偿金（即赔偿金）。

   • 计算方式：经济补偿金按工作年限计算，每满1年支付1个月工资；6个月以上不满1年的按1年计算。员工工作满6个月，经济补偿金为1个月工资（9000元），赔偿金即为2×9000元=18000元。
     
   • 关键点：需证明用人单位解除行为违法（如无合法理由、未履行法定程序等），若用人单位主张“试用期不符合录用条件”等理由，需由其举证。

3. 维权步骤与证据收集

   • 步骤：
     
     1. 与用人单位协商（可要求书面答复）；
        
     2. 向当地劳动监察大队投诉（快速处理欠薪等简单纠纷）；
        
     3. 申请劳动仲裁（需提交仲裁申请书、证据材料）。
        
   • 关键证据：
     
     • 工资流水、考勤记录、工作证等证明劳动关系存在；
       
     • 辞退通知、录音、聊天记录等证明违法解除事实；
       
     • 同事证言（如有）辅助证明未签合同情况。

4. 注意事项

   • 若用人单位主张“已签合同但员工拒交”，需由其举证（如签字页复印件）；
     
   • 仲裁裁决后用人单位不履行的，可向法院申请强制执行；
     
   • 维权过程中避免签署“自愿离职”等文件，以免丧失主张赔偿的权利。

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