结论：过失犯罪被事业单位开除后，是否可以打官司取决于多个因素，包括事业单位开除的依据是否合法、程序是否正当等。若认为开除决定不合法或程序不当，可以通过法律途径维护自己的权益。

分析：

1. 事业单位开除的法律依据：

   • 事业单位开除员工通常依据的是《事业单位人事管理条例》等相关规定。这些规定明确了事业单位在何种情况下可以开除员工，以及开除的程序和要求。
   • 如果员工因过失犯罪被开除，事业单位需要证明该过失犯罪与员工的工作职责有直接关联，且该过失犯罪达到了开除的严重程度。

2. 开除决定的合法性审查：

   • 若认为事业单位的开除决定不合法，例如没有充分的证据证明过失犯罪与工作职责的直接关联，或者开除程序存在瑕疵（如未经过正当的调查、未给予员工申辩的机会等），则可以通过法律途径挑战该决定。
   • 在这种情况下，可以提起劳动争议仲裁或诉讼，要求撤销开除决定或恢复劳动关系，并可能要求赔偿因此造成的损失。

3. 法律途径的选择：

   • 劳动争议仲裁：通常作为提起诉讼前的必经程序，用于解决劳动争议。如果对仲裁结果不满，可以进一步提起诉讼。
   • 诉讼：如果仲裁未能解决问题，或者认为仲裁程序不合法，可以直接向法院提起诉讼。在诉讼中，需要提供充分的证据证明事业单位的开除决定不合法或程序不当。

4. 可能面临的挑战：

   • 在挑战事业单位开除决定的过程中，可能会面临证据收集困难、法律程序复杂等挑战。因此，建议寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分维护。

建议：

• 如果认为事业单位的开除决定不合法或程序不当，建议首先收集相关证据，如开除通知、工作记录、犯罪记录等，以证明自己的观点。
• 咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能的法律后果，以便制定合适的维权策略。
• 在法律程序中，保持冷静和理性，遵循法律程序和要求，以维护自己的合法权益。

后续行动：

• 如果你有进一步的疑问或需要具体的法律帮助，可以直接向我咨询。作为专业律师，我将根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。