结论概述：针对您提出的“劳动合同到期，员工一直还在上班但不肯签劳动合同”的情况，这涉及到劳动合同的续签、事实劳动关系以及用人单位的法律责任等多个方面。以下我将从这几个角度为您详细分析。

1. 劳动合同到期后的续签问题：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，如果用人单位继续用工，而劳动者也继续提供劳动，双方应当续签劳动合同。若未续签，但劳动者继续在用人单位工作，则视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，但这并不意味着可以无限期地不续签合同。
   • 法律建议：用人单位应尽快与员工协商续签劳动合同，明确双方的权利和义务，以避免潜在的法律风险。

2. 事实劳动关系的认定：

   • 在劳动合同到期后，如果员工继续上班而用人单位未表示异议，且双方继续按照原劳动合同的约定履行各自的义务，那么双方之间就形成了事实劳动关系。
   • 法律后果：形成事实劳动关系后，用人单位仍然需要承担劳动合同法规定的各项义务，如支付劳动报酬、提供劳动保护等。同时，如果因未续签劳动合同而给员工造成损失的，用人单位可能需要承担赔偿责任。

3. 员工不肯签劳动合同的处理：

   • 如果员工在劳动合同到期后继续上班，但拒绝续签劳动合同，用人单位应首先了解员工拒绝续签的原因，并尝试通过沟通协商解决问题。
   • 若员工无正当理由拒绝续签：用人单位可以书面通知员工终止劳动关系，并按照劳动合同法的规定支付经济补偿（如有需要）。但需注意，如果员工在劳动合同到期后继续工作，而用人单位未在合理期限内提出终止劳动关系，则可能被视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。
   • 若员工因用人单位原因拒绝续签（如用人单位降低劳动条件等）：用人单位则可能需要承担更重的法律责任，包括支付经济补偿、赔偿金等。
   • 法律建议：在处理此类情况时，用人单位应保留好相关证据，如书面通知、沟通记录等，以证明自己的立场和行动。同时，建议用人单位在终止劳动关系前咨询专业律师，以确保合法合规。

4. 用人单位的应对策略：

   • 加强沟通：与员工进行坦诚的沟通，了解其拒绝续签的原因，并尝试解决问题。
   • 完善制度：建立健全的劳动合同管理制度，确保在劳动合同到期前及时与员工协商续签事宜。
   • 法律风险防范：在处理劳动合同到期及续签问题时，应充分考虑法律风险，并咨询专业律师以获取法律建议。

总结与进一步思考：劳动合同到期后员工继续上班但不肯签劳动合同的情况，对用人单位来说既是一个挑战也是一个机遇。通过加强沟通、完善制度以及防范法律风险，用人单位可以妥善处理此类问题，维护自身的合法权益。如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。