结论：劳动合同到期后继续用工，但一个月内员工不肯签订劳动合同的，用人单位需根据具体情况采取相应措施，并注意可能面临的法律风险。

分析：

1. 法律背景：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，劳动者继续在用人单位工作，用人单位未表示异议的，视为双方同意以原条件继续履行劳动合同。但此时，双方并未签订新的书面劳动合同。
   • 用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 员工不肯签订劳动合同的情况处理：

   • 沟通协商：首先，用人单位应与员工进行沟通，了解其不肯签订劳动合同的具体原因，并尝试通过协商解决问题。例如，员工可能对合同条款有异议，或者对签订合同存在误解。
   • 书面通知：如果沟通无果，用人单位可以向员工发出书面通知，要求其在一定期限内签订劳动合同。通知中应明确说明不签订劳动合同的法律后果，如可能面临的经济赔偿等。
   • 终止劳动关系：若员工在收到书面通知后仍不肯签订劳动合同，用人单位可以考虑终止与该员工的劳动关系。但在此过程中，用人单位需确保操作合法合规，避免引发劳动争议。

3. 可能面临的法律风险：

   • 双倍工资赔偿：如前所述，如果用人单位自用工之日起超过一个月未与劳动者签订书面劳动合同，将面临向劳动者支付双倍工资的风险。
   • 劳动争议：如果用人单位在处理员工不肯签订劳动合同的问题时操作不当，可能引发劳动争议，导致用人单位需要投入更多的时间和精力来应对。

4. 建议措施：

   • 完善合同条款：在签订劳动合同时，用人单位应确保合同条款合法合规、明确具体，以减少员工对合同条款的异议和误解。
   • 加强员工培训：用人单位可以加强对员工的法律培训，提高员工对劳动合同重要性的认识，从而增强员工签订劳动合同的意愿。
   • 及时咨询律师：在处理员工不肯签订劳动合同的问题时，用人单位可以及时咨询专业律师，以确保操作合法合规，降低法律风险。

后续行动建议：

• 用人单位应密切关注员工的合同签订情况，确保在劳动合同到期后及时与员工续签或签订新的劳动合同。
• 如果遇到员工不肯签订劳动合同的情况，用人单位应尽快采取措施，如沟通协商、发出书面通知等，以避免面临法律风险。
• 在整个过程中，用人单位应保持与员工的良好沟通，尽量通过协商解决问题，避免引发劳动争议。

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