结论前置：在申请撤销劳动仲裁裁决的过程中，仲裁裁决的执行通常不会自动停止，但具体是否停止执行需根据法院的裁定及具体情况来确定。
一般原则：不停止执行
根据《中华人民共和国仲裁法》的相关规定，当一方当事人申请执行劳动仲裁裁决，而另一方当事人同时申请撤销该裁决时，人民法院原则上并不当然停止仲裁裁决的执行。这一规定旨在维护仲裁裁决的权威性和稳定性，确保仲裁作为高效解决纠纷机制的优势得以发挥。若允许当事人以申请撤销为由随意拖延执行，可能会损害另一方当事人的合法权益，也可能导致滥用撤销申请权以逃避履行义务的情况出现。
特殊情况：可停止执行
尽管一般情况下不停止执行，但在特定情形下，法院可以根据具体情况裁定中止执行：
法院裁定中止执行：
- 若法院认为存在可能影响裁决执行的特殊情况，如裁决的执行可能给当事人造成难以弥补的损失，或其他特殊情形，法院可以裁定中止执行。例如，如果裁决涉及大额赔偿，且被执行人提出其经济状况困难，无法一次性支付，法院可能会考虑中止执行，以避免给被执行人带来过大的经济压力。
重新仲裁的可能性：
- 如果受理执行申请的人民法院认为案件可以由仲裁庭重新仲裁，会通知仲裁庭在一定期限内重新仲裁，并裁定中止撤销程序。在仲裁庭拒绝重新仲裁或未在规定时间内开始重新仲裁的情况下，人民法院将恢复撤销程序。这种情况相对较少见，但确实存在，它体现了法院对仲裁程序的尊重和支持。
提供担保：
- 被申请人或案外人可以通过提供适当担保的方式，申请法院中止执行。在此情况下，执行法院会裁定中止执行，并将中止执行裁定书送达申请执行人。同时，执行法院会在收到相关申请后的一定时间内作出是否不予执行的裁定。例如，如果被申请人提供了足够的财产作为担保，法院可能会考虑中止执行，以保障申请执行人的权益同时，也给被申请人一定的缓冲时间。
不予执行申请的审查：
- 如果被执行人或案外人对仲裁裁决执行案件提出不予执行申请，并提供了适当担保，执行法院也会裁定中止执行。随后，法院将在规定时间内对不予执行申请进行审查，并根据审查结果决定是终结执行还是驳回申请，继续执行程序。这是法院对执行申请进行审慎审查的一种体现，有助于确保执行的公正性和合法性。
实际操作建议
面对申请撤销劳动仲裁裁决与是否停止执行的问题，我建议你：
- 及时了解法院动态：密切关注法院对撤销申请和执行申请的审查进展，以便及时了解是否有可能中止执行。
- 准备充分证据：如果希望法院中止执行，应准备充分的证据来支持自己的主张，如经济状况证明、担保财产证明等。
- 咨询专业意见：在处理此类复杂法律问题时，建议直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见和策略建议。
希望以上解答能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。