农牧公司长期贩卖病死猪的行为，主要由农业农村部门（畜牧兽医主管部门）负责处理，同时涉及市场监管、公安、生态环境及乡镇政府/街道办事处等多部门的协同管理。以下是具体说明：

1. 农业农村部门（畜牧兽医主管部门）

   • 核心职责：作为病死猪管理的主导部门，农业农村部门负责动物防疫、检疫及疫病监测。对于农牧公司贩卖的病死猪，该部门将进行诊断、隔离，并指导无害化处理（如焚烧、深埋等），以防止疫病传播，维护公共卫生安全。
   • 法律依据：根据《中华人民共和国动物防疫法》的相关规定，病死动物需按规定处理，禁止随意丢弃或出售。农牧公司若违反此规定，将面临法律制裁。

2. 市场监管部门

   • 核心职责：市场监管部门负责监管猪肉流通环节的质量安全。对于农牧公司贩卖的病死猪，该部门将检查市场上销售的猪肉是否来自正规渠道，打击销售病死猪肉的违法行为，确保消费者食品安全。
   • 执法行动：市场监管部门有权对涉嫌销售病死猪肉的农牧公司进行查处，包括查封、扣押违法产品，并依法进行处罚。

3. 公安部门

   • 介入场景：若农牧公司的行为涉及非法屠宰、贩卖病死猪肉等刑事犯罪，公安部门将依法介入，配合其他部门开展联合执法，并追究相关人员的刑事责任。
   • 刑事责任：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，销售不符合安全标准的食品，足以造成严重食物中毒事故或者其他严重食源性疾病的，将构成犯罪，依法应受刑事处罚。

4. 生态环境部门

   • 核心职责：生态环境部门负责监督病死猪无害化处理的环保要求，确保处理方式符合环保标准，防止土壤、水源污染。
   • 环保处罚：若农牧公司在处理病死猪过程中违反环保规定，生态环境部门将依法进行处罚，包括罚款、责令整改等。

5. 乡镇政府/街道办事处

   • 基层责任：乡镇政府/街道办事处作为基层政府，将协助上级部门落实病死猪收集和处理工作，组织养殖户报告病死情况，并参与无害化处理设施的建设和维护。

处理流程示例：

• 发现病死猪后，农牧公司应立即向当地农业农村部门报告。
• 农业农村部门将指导无害化处理，并必要时采样检测。
• 市场监管部门将检查猪肉来源，防止流入市场。
• 生态环境部门将确保处理过程无污染。
• 若涉及刑事犯罪，公安部门将立案侦查。

关键法规与政策：

• 《中华人民共和国动物防疫法》（2021年修订）
• 《病死畜禽和病害畜禽产品无害化处理管理办法》（农业农村部令2022年第3号）

总结与建议： 农牧公司长期贩卖病死猪的行为严重违反了相关法律法规，不仅危害公共卫生安全，还可能构成刑事犯罪。因此，我建议农牧公司立即停止此类行为，并主动向相关部门报告并配合处理。同时，若您发现此类违法行为，也应及时向相关部门举报，以维护公共利益和食品安全。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。