结论：劳动者在兼职情况下因自己过失损伤眼睛，能否向单位要求赔偿，需根据具体情况判断，主要看是否构成工伤以及单位是否存在过错。以下从不同角度进行分析：
一、是否构成工伤
工伤认定标准：
- 根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤通常指在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害。对于兼职劳动者，同样适用这一标准，但关键在于是否满足“工作时间”、“工作场所”和“工作原因”三个要素。
- 若劳动者在兼职过程中，因执行工作任务或从事与工作相关的活动而受伤，且符合工伤认定的其他条件（如及时报告、提供医疗证明等），则有可能被认定为工伤。
自己过失的影响：
- 工伤认定并不完全排除劳动者自己的过失。只要伤害是在工作过程中发生的，且与工作有直接关联，即使劳动者存在一定过失，也不影响工伤的认定。但如果是故意自伤、自杀或犯罪等行为导致的伤害，则不构成工伤。
二、单位是否存在过错
单位的安全保障义务：
- 单位有义务为劳动者提供安全的工作环境，采取必要的安全措施，防止事故的发生。如果单位未履行这一义务，导致劳动者受伤，单位应承担相应的赔偿责任。
过错与赔偿的关系：
- 如果单位在劳动者受伤过程中存在过错（如未提供安全设备、未进行安全培训等），劳动者有权要求单位承担赔偿责任。这种赔偿可能包括医疗费、误工费、残疾赔偿金等。
- 如果单位已尽到安全保障义务，且劳动者的受伤完全是由于自己的过失导致的，那么单位可能不承担赔偿责任。但具体情况还需根据法律法规和实际情况进行判断。
三、实际操作建议
及时报告与取证：
- 劳动者在受伤后应及时向单位报告，并保留好相关证据（如医疗记录、工作记录、证人证言等），以便后续申请工伤认定和索赔。
申请工伤认定：
- 劳动者应尽快向当地的社会保险行政部门申请工伤认定。这是获取工伤赔偿的前提和基础。
协商与诉讼：
- 如果单位拒绝赔偿或双方对赔偿金额存在争议，劳动者可以与单位进行协商。协商不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼。
进一步思考：在实际操作中，工伤认定和赔偿过程可能涉及复杂的法律程序和证据收集。因此，建议劳动者在受伤后及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。如果你有具体的法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。