在处理雇佣司机开车过程中发生的交通事故损害赔偿问题时，我们需要综合考虑多个因素，包括事故的具体情况、相关法律法规以及保险条款。以下是对此问题的详细解答：
一、赔偿责任主体
雇主责任：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，个人之间形成劳务关系时，提供劳务一方（即雇佣司机）因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方（即雇主）承担侵权责任。这意味着，无论司机在事故中承担何种责任，雇主通常都需要先对外承担赔偿责任。
- 赔偿范围包括医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。若造成残疾或死亡，还需赔偿相应的残疾赔偿金、死亡赔偿金等。
- 如果司机在事故中存在故意或者重大过失，雇主在承担赔偿责任后有权向司机追偿。
保险公司责任：
- 交强险：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》，机动车的所有人或管理人应投保交强险。当发生交通事故时，保险公司应在交强险责任限额范围内对受害人进行赔偿。
- 商业险：如果车辆还投保了商业第三者责任险等其他商业保险，且符合保险合同约定的赔偿条件，保险公司也应当按照合同约定承担赔偿责任。赔偿顺序通常为先交强险、后商业险。
驾驶员责任：
- 如果驾驶员在事故中存在故意或重大过失，如酒驾、严重超速等，他需与雇主承担连带赔偿责任。雇主在赔偿后，有权向驾驶员追偿。
- 在一般情况下，如果驾驶员仅存在一般过失，赔偿责任主要由雇主承担，驾驶员可能无需直接对外承担赔偿责任。
二、特殊情况处理
第三方责任：
- 如果交通事故是由第三方造成的，雇主和驾驶员在承担赔偿责任后，有权向第三方追偿。
不可抗力等免责情形：
- 如果交通事故是由于不可抗力等不能归责于驾驶员的原因造成的，驾驶员和雇主可能无需承担赔偿责任。但需注意，这需要证明不可抗力的存在及其与事故的因果关系。
三、实际操作建议
及时报案：
- 发生交通事故后，应立即报警并通知保险公司，以便及时处理事故和进行赔偿。
收集证据：
- 收集事故现场的照片、视频、证人证言等证据，以便在后续处理中证明事故责任和损失情况。
协商赔偿：
- 在明确责任后，与受害人或其家属进行协商，确定赔偿金额和方式。如果协商不成，可以通过法律途径解决。
法律咨询：
- 在处理过程中，如果遇到法律难题或不确定如何操作，建议咨询专业律师或法律机构，以获取专业的法律意见和帮助。
综上所述，处理雇佣司机开车过程中发生的交通事故损害赔偿问题需要综合考虑多个因素。在实际操作中，应根据事故的具体情况、相关法律法规以及保险条款来综合判断并确定各方的责任大小与赔偿方式。