结论：私营企业未签订劳动合同辞退员工，员工是可以申请劳动仲裁并要求赔偿的。具体赔偿和仲裁流程如下：
一、未签劳动合同的法律后果及赔偿
根据《劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果私营企业未与员工签订劳动合同，员工有权要求企业支付最多11个月的双倍工资差额。
示例：假设员工在私营企业工作了8个月，且未签订劳动合同，那么员工可以要求企业支付7个月的双倍工资差额（因为第一个月不计算在内）。
二、辞退员工的补偿标准
- 违法解除的赔偿金：
- 如果私营企业无合法理由单方辞退员工（如未提前30日通知且无法定解除事由），则需按经济补偿标准的两倍支付赔偿金。
- 经济补偿金的计算方式是：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年算；不满六个月的支付半个月工资。
示例：如果员工在私营企业工作了2年零3个月，且被违法辞退，那么员工应得的赔偿金为：\(2.5 \text{个月工资} \times 2 = 5 \text{个月工资}\)。
- 协商解除或合法解除的经济补偿：
- 如果私营企业提出协商解除或符合法定解除条件时，仅需支付经济补偿金（无需翻倍）。
三、申请劳动仲裁的条件与流程
适用情况：
- 未签劳动合同的双倍工资差额争议；
- 被辞退后未获合理补偿；
- 其他劳动争议（如拖欠工资、加班费等）。
仲裁时效：
- 双倍工资差额：从入职第二个月起算，逐月计算一年仲裁时效。
- 违法解除赔偿金：自知道权利被侵害之日起一年内申请。
所需材料：
- 身份证明、单位注册信息；
- 工作证、考勤记录、工资流水等证明劳动关系；
- 辞退通知书、沟通记录等证明解除事实。
流程：
- 向单位所在地或劳动合同履行地劳动仲裁委提交申请；
- 仲裁委受理并安排庭审；
- 对裁决不服可在15日内向法院起诉。
四、注意事项
- 证据收集：员工应保留工资条、聊天记录、邮件等能证明劳动关系和辞退原因的材料，以便在仲裁或诉讼中作为证据。
- 及时维权：员工应注意仲裁时效，避免因超期而丧失胜诉权。
- 法律咨询：对于复杂案件，员工可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。
综上所述，私营企业未签订劳动合同辞退员工，员工是有权申请劳动仲裁并要求赔偿的。在申请仲裁前，员工应充分了解自己的权益和仲裁流程，并准备好相关证据材料。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。