针对您提出的“调解书未约定逾期付款的利息，申请执行时利息如何处理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、核心结论
在民事调解书未明确约定逾期付款（即迟延履行）利息的情况下，执行时申请执行人通常有权依法要求加倍计算迟延履行期间的债务利息。但这一权利并非绝对，若调解书中已明确排除了迟延履行利息的适用，则申请执行人不得再行主张。
二、法律依据与原则
法定性：
- 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，被执行人未按判决、裁定和其他法律文书指定的期间履行给付金钱义务的，应当加倍支付迟延履行期间的债务利息。这一规定具有法定性和强制性，旨在督促被执行人及时履行义务，并补偿申请执行人因迟延履行所遭受的损失。
调解书的性质：
- 民事调解书是人民法院在审理民事案件过程中，根据自愿和合法原则制作的法律文书，具有强制执行力。它属于上述法律规定中的“其他法律文书”范畴，因此同样适用迟延履行利息的规定。
三、具体分析
调解书未约定迟延履行利息：
- 若调解书中未对迟延履行利息进行明确约定，则申请执行人有权在执行时要求加倍计算迟延履行期间的债务利息。这是法律的强制性规定，旨在保护申请执行人的合法权益。
调解书已明确排除迟延履行利息：
- 若调解书中已明确排除了迟延履行利息的适用（例如，通过特别约定或条款明确表示不算迟延履行利息），则申请执行人不得再行主张加倍计算迟延履行期间的债务利息。这是因为当事人已经通过调解书对迟延履行的违约责任进行了特别约定，且该约定已得到法院的确认和认可。
调解书中有特别约定但不足以弥补损失：
- 如果调解书中虽然对迟延履行进行了特别约定（如支付违约金），但该约定并不足以弥补因迟延履行给申请执行人造成的损失，那么申请执行人仍然有权要求被执行人支付迟延履行期间的债务利息。这是因为迟延履行利息的设定旨在全面补偿申请执行人的损失，而不仅仅是惩罚被执行人的违约行为。
四、实际操作建议
审查调解书内容：
- 在处理具体案件时，应首先仔细审查调解书的内容，特别是关于迟延履行的约定部分。确定是否对迟延履行利息有明确约定或排除。
依法主张权利：
- 若调解书未明确排除迟延履行利息的适用，申请执行人可依据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，在执行程序中要求被执行人支付迟延履行期间的债务利息。
考虑实际损失：
- 在主张迟延履行利息时，申请执行人应充分考虑自身因迟延履行所遭受的实际损失，并据此提出合理的利息主张。
综上所述，调解书未约定逾期付款的利息时，执行时是否可以要求加倍计算利息取决于调解书的具体内容及法律规定。若调解书未明确排除迟延履行利息的适用，则申请执行人有权要求加倍计算迟延履行期间的债务利息。