行政机关不履行法定职责的相关规定主要见于《中华人民共和国行政诉讼法》及其司法解释，具体如下：

一、法律依据

1. 《中华人民共和国行政诉讼法》第十二条： 该条款明确规定了人民法院受理公民、法人或者其他组织提起的诉讼范围，其中包括“申请行政机关履行保护人身权、财产权等合法权益的法定职责，行政机关拒绝履行或者不予答复的”情形。这为公民、法人或其他组织在行政机关不履行法定职责时提起行政诉讼提供了明确的法律依据。

2. 《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国行政诉讼法〉的解释》：

   • 受案范围：该解释进一步明确了不履行法定职责属于行政诉讼的受案范围，除非法律另有规定。这意味着，在大多数情况下，公民、法人或其他组织都可以就行政机关不履行法定职责的行为提起行政诉讼。
   • 起诉条件：解释规定，公民、法人或者其他组织应当在行政机关履行法定职责期限届满之日起六个月内提起诉讼。这一规定为起诉时间提供了明确的界限，有助于保障当事人的诉讼权利。
   • 判决方式：若原告请求成立，法院可判决被告在一定期限内依法履行，或针对请求重新处理。这为法院处理此类案件提供了明确的判决指引。

二、不履行法定职责的认定

行政机关不履行法定职责，通常指的是行政机关在法律、法规、规章等规范性文件明确规定下应履行的行政管理职责中，无正当理由拒绝履行、拖延履行、不完全履行或不正确履行的行为。这主要包括以下几种形式：

1. 拒绝履行：行政机关明确表示或以行为表明不履行法定职责，如无理拒绝合法申请。
2. 拖延履行：行政机关在法定期限或合理期限内未能及时履行职责。
3. 不完全履行：行政机关部分履行但未全面按照法律要求履行，导致权益未得到充分保障。
4. 不正确履行：行政机关未按规定的程序、方式或标准履行，违反法律规定。

三、司法实践中的考量因素

在判断行政机关是否构成不履行法定职责时，法院会综合考虑以下方面：

1. 履职能力与客观条件：法院会考虑行政机关的人员配备、资金、技术等履职能力，以及不可抗力、政策调整等客观因素。
2. 申请的合法性：法院会审查申请是否符合法律、法规、规章规定的条件和程序。
3. 合理期限：法院会根据法律、法规规定或案件具体情况确定合理期限，评估行政机关是否在期限内积极履行职责。
4. 履行程序的合规性：法院会检查行政机关的行动是否符合法律、法规的程序和标准。
5. 履行效果：法院会评估行政机关的行动是否达到法律、法规所设定的目标或效果。

四、法律责任与救济途径

若行政机关或其工作人员被认定为不履行法定职责，可能承担行政责任、赔偿责任等法律责任。当事人可通过以下途径维护合法权益：

1. 行政诉讼：向法院提起行政诉讼，要求确认行政机关的不履行行为违法，并寻求相应的赔偿或补偿。
2. 行政复议：向上一级行政机关或法定复议机关申请行政复议，要求纠正不履行法定职责的行为。
3. 行政监督：通过行政监督程序，向上级行政机关、监察机关等反映问题，督促其履行职责。

举例说明：

假设某市民向当地城市管理部门申请清理小区内的违法建筑，但城市管理部门在法定期限内未予处理。该市民可以依据《中华人民共和国行政诉讼法》及其司法解释的规定，向法院提起行政诉讼，要求城市管理部门履行清理违法建筑的法定职责。如果法院认定城市管理部门确实存在不履行法定职责的行为，将判决其在一定期限内履行职责，并可能要求其承担相应的法律责任。

总结与建议：

行政机关不履行法定职责是严重违反法律规定的行为，当事人有权通过法律途径维护自身权益。在提起行政诉讼前，建议当事人充分了解相关法律法规和司法解释的规定，收集并整理好相关证据材料，以便在诉讼中更好地维护自己的合法权益。如果你遇到此类问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。