在行政诉讼法中，认定行政机关不履行法定职责（行政不作为）违法，主要依据《中华人民共和国行政诉讼法》第七十二条和第七十四条第二款的规定。以下是对这两条法律规定的详细解释及适用情形：

1. 《中华人民共和国行政诉讼法》第七十二条：

   • 规定内容：人民法院经过审理，查明被告不履行法定职责的，判决被告在一定期限内履行。
   • 适用情形：当公民、法人或其他组织认为行政机关未履行其应尽的法定职责，如拒绝颁发许可证、未对违法行为进行查处等，且该职责属于行政机关的法定职责范围时，可以向人民法院提起行政诉讼。若法院查明行政机关确实未履行法定职责，将判决行政机关在一定期限内履行。
   • 举例说明：假设某企业向环保部门申请排放许可证，但环保部门在法定期限内未予答复或拒绝颁发，且该企业符合颁发许可证的条件。此时，该企业可以向人民法院提起行政诉讼，要求环保部门履行颁发许可证的法定职责。若法院查明情况属实，将判决环保部门在一定期限内颁发许可证。

2. 《中华人民共和国行政诉讼法》第七十四条第二款：

   • 规定内容：行政行为有下列情形之一，不需要撤销或者判决履行的，人民法院判决确认违法：…（三）被告不履行或者拖延履行法定职责，判决履行没有意义的。
   • 适用情形：当行政机关的不履行或拖延履行法定职责的行为已经造成无法挽回的后果，或者判决其履行已无实际意义时，法院将判决确认该行政行为违法。
   • 举例说明：假设某公民向公安机关报案称其遭受了盗窃，但公安机关在接到报案后长时间未予调查处理，导致盗窃嫌疑人逃逸且无法追回被盗财物。此时，该公民可以向人民法院提起行政诉讼，要求确认公安机关未履行法定职责的行为违法。若法院查明情况属实，且判决公安机关履行调查处理职责已无实际意义，将判决确认公安机关的行为违法。

在认定行政不作为违法时，还需注意以下几点：

• 行政机关具有法定职责：这是认定行政不作为的前提。行政机关的职责通常由法律、法规、规章等规范性文件明确赋予。
• 相对人提出合理申请：相对人需向行政机关提出要求其履行职责的申请，且申请事项应属于行政机关的法定职责范围。
• 行政机关未履行或拖延履行职责：行政机关在收到申请后，未采取任何实质性行动或超出了法定的合理期限才履行职责。
• 行政机关没有正当理由：如不可抗力、意外事件等特殊原因可导致行政机关免责，但因人员不足、工作繁忙等借口长时间不处理相对人的申请，不构成正当理由。

若您认为行政机关存在不履行法定职责的行为，且该行为已经给您造成了损害或可能造成损害，您可以向人民法院提起行政诉讼，要求行政机关履行法定职责或确认其行政行为违法，并可要求行政机关承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据证明行政机关未履行或拖延履行法定职责，以及该行为给您造成的损害。如有需要，您可以直接向我咨询相关法律问题，我将为您提供专业的法律帮助。