结论：在一个公司上班半年突然被辞退是否合法，这取决于公司辞退的具体理由和是否遵循了相应的法律程序。以下我将从多个角度详细分析这个问题。
一、合法辞退的情况
员工存在过错：
- 如果员工在试用期内被证明不符合录用条件，或者严重违反公司规章制度，或者严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害，或者同时与其他用人单位建立劳动关系对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，或者被依法追究刑事责任，那么公司有权依法辞退员工，且无需支付经济补偿。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，用人单位可以解除劳动合同的情形包括上述几种。
经济性裁员：
- 如果公司因生产经营发生严重困难，或者需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，且提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取工会或者职工的意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，那么公司可以进行经济性裁员。
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十一条，用人单位可以经济性裁员的情形及程序。
二、非法辞退的情况
无合法理由辞退：
- 如果公司没有合法理由，如上述员工过错或经济性裁员的情况，而突然辞退员工，那么这种辞退就是非法的。
- 法律后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
未遵循法律程序辞退：
- 即使公司有合法理由辞退员工，但如果未遵循相应的法律程序，如未提前通知员工、未听取工会或职工意见、未向劳动行政部门报告等，也可能构成非法辞退。
- 法律后果：同样，用人单位可能需要支付赔偿金，具体数额根据违法解除劳动合同的具体情况确定。
三、经济补偿的计算
如果公司非法辞退员工，需要支付赔偿金，赔偿金的计算方式如下：
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2
- 经济补偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
- 示例：如果员工在公司工作了半年，月工资为5000元，那么经济补偿为半个月工资，即2500元；赔偿金则为经济补偿的两倍，即5000元。
四、建议与行动
- 与公司协商：如果员工认为自己被非法辞退，首先可以尝试与公司协商，要求公司支付赔偿金或恢复劳动关系。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，员工可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 寻求法律帮助：在申请劳动仲裁或提起诉讼前，员工可以咨询专业律师，了解自己的权利和义务，以及可能的法律后果。
总结：上班半年突然被辞退是否合法，取决于公司辞退的理由和程序。如果公司无合法理由或未遵循法律程序辞退员工，那么这种辞退就是非法的，员工有权要求公司支付赔偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。