结论：私人包工头没合同欠农民工工资，是可以找劳动监察大队投诉的。以下从多个角度为你详细分析：
法律背景与依据
劳动监察大队的职责：
- 劳动监察大队是劳动行政部门的一部分，负责监督用人单位遵守劳动保障法律、法规的情况，包括工资支付、劳动合同签订等。
- 根据《劳动保障监察条例》的相关规定，劳动监察大队有权对用人单位的违法行为进行查处，并要求用人单位改正。
农民工与包工头的关系：
- 尽管农民工与包工头之间可能没有签订书面的劳动合同，但双方之间仍然存在事实上的劳动关系。
- 农民工为包工头提供了劳动，包工头就应当支付相应的工资。这是基于劳动法的基本原则，即劳动者有权获得劳动报酬。
无合同不影响维权：
- 劳动合同是证明劳动关系的重要证据，但并非唯一证据。农民工可以通过其他方式证明与包工头之间的劳动关系，如工作证、工作服、工资条、考勤记录、同事证言等。
- 劳动监察大队在受理投诉时，会综合考虑各种证据来认定劳动关系和欠薪事实。
投诉流程与建议
准备证据：
- 农民工在投诉前，应尽可能收集与包工头之间的劳动关系和欠薪事实相关的证据。
- 这些证据可以包括工作证、工作服、工资条、考勤记录、同事证言、与包工头的聊天记录或通话录音等。
向劳动监察大队投诉：
- 农民工可以携带相关证据，前往当地劳动监察大队进行投诉。
- 投诉时，应详细说明欠薪情况，包括欠薪金额、欠薪时间、包工头的姓名和联系方式等。
配合调查与处理：
- 劳动监察大队在受理投诉后，会进行调查核实。农民工应积极配合调查，提供必要的协助和证据。
- 如果调查属实，劳动监察大队会责令包工头限期支付欠薪，并可能对其进行行政处罚。
其他维权途径：
- 如果劳动监察大队的处理结果不满意，农民工还可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼。
- 在这些过程中，农民工同样需要提供充分的证据来证明自己的主张。
可能的法律后果
对包工头的法律后果：
- 如果包工头被认定存在欠薪行为，劳动监察大队会责令其限期支付欠薪。
- 如果包工头拒不支付，可能会面临行政处罚，如罚款、吊销营业执照等。
- 在严重情况下，包工头还可能构成拒不支付劳动报酬罪，面临刑事处罚。
对农民工的权益保障：
- 通过投诉和维权，农民工可以获得应得的工资报酬，维护自己的合法权益。
- 同时，这也有助于促进劳动市场的规范化和法治化，保护更多劳动者的权益。
最后建议：如果你或你身边的农民工朋友遇到了私人包工头欠薪的问题，不要犹豫，及时向劳动监察大队投诉，并准备好相关证据。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。