结论：新公司承继原公司的劳动关系后，一般情况下不可以直接向原单位要求补偿金，但存在特定情形时，劳动者可能有权向原单位主张相关权益。以下从不同角度进行详细分析：
一、劳动关系承继的一般原则
在劳动关系承继的情境中，通常指的是因企业合并、分立等原因，原用人单位的劳动关系由新的用人单位承继。根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十四条的规定：“用人单位发生合并或者分立等情况，原劳动合同继续有效，劳动合同由承继其权利和义务的用人单位继续履行。”这意味着，在劳动关系承继的情况下，原劳动合同对劳动者和新用人单位仍然具有约束力，新用人单位应继续履行原劳动合同中的各项义务，包括支付劳动报酬、提供劳动条件等。
二、补偿金请求权的通常情况
经济补偿金：经济补偿金通常是在劳动合同解除或终止时，由用人单位向劳动者支付的一种补偿。在劳动关系承继的情况下，由于原劳动合同并未解除或终止，而是由新用人单位继续履行，因此劳动者通常无权直接向原用人单位要求经济补偿金。
赔偿金：赔偿金则是在用人单位违反法律规定或劳动合同约定，给劳动者造成损失时，应支付的一种赔偿。在劳动关系承继的情况下，如果原用人单位存在违法行为或违约行为，且该行为与劳动者在新用人单位的权益受损有直接关联，劳动者可能有权向原用人单位主张赔偿金。但这种情况较为特殊，需要具体分析。
三、特定情形下的补偿金请求权
尽管在一般情况下，劳动者无权直接向原用人单位要求补偿金，但在以下特定情形下，劳动者可能有权向原单位主张相关权益：
原用人单位未依法支付劳动报酬或提供劳动条件：如果原用人单位在劳动关系承继前存在未依法支付劳动报酬或提供劳动条件的违法行为，且该行为对劳动者的权益造成了损害，劳动者在劳动关系承继后，仍有权向原用人单位主张相应的权益，包括要求支付拖欠的劳动报酬或要求改善劳动条件等。不过，这并不直接等同于要求经济补偿金，但在某些情况下，可能构成要求赔偿金的理由。
原用人单位与劳动者约定了特定补偿：如果原用人单位与劳动者在劳动合同中或通过其他方式约定了特定情形下的补偿（如企业改制时的补偿等），且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么在约定情形发生时，劳动者有权按照约定向原用人单位要求补偿。
新用人单位与原用人单位存在特定协议：如果新用人单位与原用人单位在承继劳动关系时签订了特定协议，且该协议中约定了原用人单位应向劳动者支付补偿金的条款，那么在该条款不违反法律法规的强制性规定且劳动者同意的情况下，劳动者有权按照协议约定向原用人单位要求补偿金。
四、建议与注意事项
审查劳动合同与相关协议：劳动者在面临劳动关系承继时，应仔细审查原劳动合同以及新用人单位与原用人单位签订的相关协议，了解自己的权益和义务。
保留证据：如果劳动者认为原用人单位存在违法行为或违约行为，且该行为对自己的权益造成了损害，应尽可能保留相关证据，以便在需要时主张自己的权益。
咨询专业律师：由于劳动关系承继和补偿金请求权的问题涉及复杂的法律关系和法律规定，劳动者在面临相关问题时，建议咨询专业律师以获取更具体、更准确的法律建议。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律解答和建议。