劳务派遣工在工作期间因疾病死亡，其责任承担需根据具体情况判定，可能涉及劳务派遣单位、用工单位的共同或单独责任。以下是对此问题的详细分析：
一、认定为工伤的情形
工伤认定标准：
- 根据《工伤保险条例》，劳务派遣员工在工作时间和工作岗位突发疾病死亡，或在48小时内经抢救无效死亡的，视同工伤。
责任承担：
- 工伤保险基金支付：若劳务派遣单位已为员工依法缴纳工伤保险费，则丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等由工伤保险基金支付。具体来说，丧葬补助金一般为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资；一次性工亡补助金标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
- 劳务派遣单位支付：若未缴纳工伤保险，上述费用则由劳务派遣单位承担。
- 用工单位责任：虽然用工单位通常不直接承担工伤保险待遇支付责任，但若存在过错，如提供的工作环境存在安全隐患、强令加班等，劳务派遣单位在赔偿后可依据劳务派遣协议要求用工单位承担相应责任。
二、不属于工伤的情形
非工伤认定：
- 若猝死不符合工伤认定条件，如非工作时间和工作岗位发生，则无法获得工伤保险赔偿。
责任划分：
- 侵权责任：若用工单位或第三人对员工死亡存在过错，如设备缺陷、侵权行为等，需根据《民法典》等承担侵权赔偿责任。
- 自身疾病原因：若猝死因自身疾病且与工作无直接关联，用工单位和劳务派遣单位一般不需承担赔偿责任。但考虑到人道主义因素，用工单位或劳务派遣单位可能会给予一定的经济补偿。
- 用工单位主要责任：根据《劳动合同法》，劳务派遣员工虽与派遣公司签订合同，但实际在用工单位指挥下工作。因此，用工单位应提供必要的劳动保护和条件，并对其工作中的伤亡承担责任。若猝死因用工单位未能提供必要保护或条件导致，需承担相应赔偿责任。
- 劳务派遣单位责任：作为正式雇主，劳务派遣公司也需承担一定责任，如协助处理事宜、提供支持等。若派遣过程中存在过错或疏忽导致员工猝死，也需承担法律责任。
三、实际操作建议
- 申请工伤认定：在发生劳务派遣人员工作期间死亡的事件时，家属应首先申请工伤认定，以确定责任主体和赔偿范围。
- 收集证据：家属应积极收集与死亡事件相关的证据，如事故现场的监控录像、证人证言、医疗记录等，以便在后续的法律程序中维护自身权益。
- 协商与诉讼：若责任划分存在争议，家属可先尝试与劳务派遣单位和用工单位进行协商调解；若协商无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁；对仲裁结果不服的，还可向法院提起诉讼。
总结来说，劳务派遣工在工作期间因疾病死亡的责任承担需根据具体情况判定。家属在遭遇此类事件时，应保持冷静，及时申请工伤认定，并收集相关证据以维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。