结论：工厂即使支付加班费，也不能整个月不让员工休息，这违反了我国劳动法的相关规定。
详细分析：
加班与休息的法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第三十六条，国家实行劳动者每日工作时间不超过八小时、平均每周工作时间不超过四十四小时的工时制度。这意味着，员工在正常情况下，每周应至少有一天休息时间。
- 同时，《中华人民共和国劳动法》第三十八条也明确规定，用人单位应当保证劳动者每周至少休息一日。这是法律对员工休息权的明确保障。
加班费的支付标准：
- 虽然工厂在安排员工加班时，需要按照《中华人民共和国劳动法》第四十四条的规定支付加班费，但这并不意味着工厂可以无限制地安排员工加班。
- 加班费的支付标准包括：延长工作时间的支付不低于工资的百分之一百五十的工资报酬；休息日安排工作又不能安排补休的，支付不低于工资的百分之二百的工资报酬；法定休假日安排工作的，支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。这些规定旨在保障员工在加班时的合法权益，但并不意味着可以剥夺员工的休息权。
整个月不休息的法律后果：
- 如果工厂整个月不让员工休息，即使支付了加班费，也违反了劳动法的相关规定。员工有权向劳动监察部门投诉，要求工厂纠正违法行为，并可能获得相应的赔偿。
- 长期不休息可能导致员工身心健康受损，影响工作效率和生活质量。因此，工厂应合理安排员工的工作和休息时间，确保员工的身心健康和工作效率。
建议：
- 作为员工，如果遇到工厂整个月不让休息的情况，应及时向劳动监察部门投诉，维护自己的合法权益。
- 同时，也可以与工厂协商，要求合理安排工作和休息时间，确保自己的身心健康和工作效率。
- 如果对劳动法的相关规定有疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律意见和帮助。