结论：学校老师不服仲裁判决上诉法院后，学校法人退位，一般情况下不影响案件的继续审理和判决的执行，但可能会涉及学校法人变更后的权利义务承接问题。
分析说明：
案件审理的连续性：
- 当学校老师不服仲裁判决并上诉至法院时，案件已经进入了司法程序。此时，无论学校法人是否退位，法院都会继续审理案件，因为案件的审理是基于事实和法律，而非基于学校法人的个人身份。
- 学校法人退位，即学校法定代表人的变更，并不改变学校作为法律主体的地位。新的法定代表人将承接原法定代表人的权利和义务，继续参与案件的审理。
权利义务的承接：
- 根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规，法人变更后，其民事权利和义务由变更后的法人承继。因此，在学校法人退位后，新的学校法人将承接原学校在案件中的权利和义务。
- 这意味着，新的学校法人需要继续参与案件的审理，包括提交证据、进行辩论等，并承担案件可能产生的法律后果。
判决的执行：
- 如果法院最终作出判决，无论学校法人是否退位，判决都需要得到执行。新的学校法人作为判决的义务承担者，有义务履行判决所确定的义务。
- 如果新的学校法人不履行判决，老师可以依法向法院申请强制执行，法院将采取相应措施确保判决的执行。
特殊情况下的处理：
- 如果学校法人退位导致学校无法继续运营或存在其他特殊情况，可能会影响案件的审理和判决的执行。但这种情况较为罕见，且通常会有相应的法律程序来处理，如学校的清算、重组等。
- 在这些特殊情况下，老师可以及时向法院说明情况，法院会根据实际情况作出相应处理，如中止审理、延期审理或变更诉讼主体等。
行动建议：
- 对于老师而言，应继续积极参与案件的审理，提交相关证据，进行辩论，以维护自己的合法权益。
- 同时，老师也可以关注学校法人的变更情况，及时了解新的学校法人的信息，以便在需要时与其进行沟通或联系。
- 如果遇到特殊情况或不确定如何处理，老师可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。