结论：员工突然离职且未签合同的情况下，公司是否可以起诉员工，取决于具体诉求和事实情况。以下从不同角度进行分析：
一、若公司想追究员工擅自离职的责任
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者解除劳动合同，应当遵循法定程序，如提前通知用人单位等。若员工未履行这些程序而擅自离职，可能构成违法解除劳动合同。
法律建议：
- 公司可以收集员工擅自离职的证据，如考勤记录、工作交接情况、同事证言等，以证明员工未履行法定解除程序。
- 若员工擅自离职给公司造成了经济损失，公司可以依据《劳动合同法》的相关规定，要求员工承担赔偿责任。但需注意，公司需证明损失与员工擅自离职之间存在直接因果关系，且损失金额需合理。
可能法律后果：
- 若公司能够证明员工擅自离职且造成了经济损失，法院可能会支持公司的赔偿请求。但赔偿金额将根据实际损失和员工过错程度等因素综合确定。
二、若公司想因未签合同而追究员工责任（此情况较为特殊，通常公司是过错方）
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这是法律对用人单位未签劳动合同的惩罚性规定。
法律分析：
- 在未签合同的情况下，通常是公司作为过错方，需要承担法律责任，如支付双倍工资等。员工通常不会因未签合同而被公司起诉，除非员工存在欺诈、胁迫等行为导致合同未签，但这种情况较为罕见。
法律建议：
- 对于公司而言，应尽快与员工补签劳动合同，以避免法律风险。若员工拒绝补签，公司应考虑是否继续留用该员工，并咨询专业律师以制定合适的应对策略。
三、综合建议
收集证据：无论公司想追究员工哪种责任，都需要收集充分的证据来支持自己的主张。这包括员工擅自离职的证据、未签合同的证据（如工作记录、工资支付记录等）、以及公司因此遭受损失的证据等。
咨询专业律师：虽然我在这里提供了一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，我建议公司在采取任何法律行动之前，先咨询专业律师以获取更具体、更个性化的法律建议。
考虑和解或调解：在可能的情况下，公司可以考虑与员工进行和解或调解，以避免漫长的法律诉讼和可能的负面舆论影响。和解或调解的结果可以更加灵活和符合双方的实际需求。
最后，若公司在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据公司的具体情况和需求，提供全面、专业的法律服务。