核心结论：员工因家属生病照顾请假却被工厂辞退，工厂的行为可能构成违法解除劳动合同，员工有权要求工厂继续履行合同或支付赔偿金，并可以通过劳动仲裁等法律途径维护自身权益。
法律分析：
请假权利与工厂义务：
- 员工因家属生病需要照顾，有权向工厂请假。工厂在了解情况后，应给予合理的理解和支持，并根据实际情况安排员工休假或调整工作安排。
- 工厂无正当理由不得拒绝员工的合理请假请求，更不得因此辞退员工。
违法解除劳动合同的认定：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，工厂辞退员工必须基于合法、合理的理由，并遵循法定的程序。
- 若工厂仅因员工请假照顾家属就辞退员工，且没有提供充分的证据证明员工存在严重违反公司规章制度或无法胜任工作等情形，那么工厂的行为可能构成违法解除劳动合同。
员工的权益保护：
- 员工在遭遇违法解除劳动合同后，有权要求工厂继续履行合同，即恢复劳动关系，并补发违法解除期间的工资。
- 若员工不要求继续履行合同或合同已经不能继续履行，员工有权要求工厂支付赔偿金。赔偿金的计算标准通常为员工在工厂的工作年限乘以月工资的两倍（具体根据《劳动合同法》第四十七条、第八十七条确定）。
法律建议：
收集证据：
- 员工应尽快收集与请假、工厂辞退相关的证据，如请假条、工厂辞退通知、工资单、工作记录等，以证明自己的请假是合理的，且工厂的辞退行为是违法的。
与工厂协商：
- 在收集到足够证据后，员工可以尝试与工厂进行协商，要求工厂承认错误并恢复劳动关系或支付赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，员工可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，提交相关证据和仲裁请求，要求仲裁机构裁决工厂承担违法解除劳动合同的法律责任。
寻求法律援助：
- 在整个过程中，员工可以寻求法律援助或咨询专业律师，以更好地了解自己的权益和维权途径，提高维权的成功率。
可能法律后果：
- 若工厂被认定违法解除劳动合同，将面临支付赔偿金、恢复劳动关系等法律责任。
- 若员工通过法律途径成功维权，不仅将获得应有的赔偿，还将对工厂的违法行为形成有效的震慑，促进工厂依法规范用工。
作为赵许江律师，我建议你根据上述分析，结合自己的实际情况，采取合适的措施维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。