结论：在公司工作19年后，公司要求重新签订劳动合同，是否属于无固定期限劳动合同，需根据具体情况判断。若劳动者满足特定条件，则应当订立无固定期限劳动合同；否则，用人单位和劳动者可协商决定劳动合同的期限。

1. 满足签订无固定期限劳动合同条件的情况

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以下情况下，劳动者提出或同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同：

• 连续工作满十年：劳动者在同一用人单位连续工作满十年，例如从2005年1月1日起一直在某公司工作，到2015年1月1日以后劳动合同到期未续签又继续工作的情形，此时若公司要求重新签订劳动合同，且劳动者同意，则应当签订无固定期限劳动合同。
• 连续订立二次固定期限劳动合同：若劳动者已经连续订立二次固定期限劳动合同，且没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如试用期间被证明不符合录用条件的、严重违反用人单位的规章制度的、严重失职给用人单位造成重大损害等，以及患病或者非因工负伤在规定的医疗期满后不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作、不能胜任工作经过培训或者调整工作岗位仍不能胜任工作等），在续订劳动合同时，也应当签订无固定期限劳动合同。
• 满一年未签订书面劳动合同：若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。此时，若公司要求重新签订劳动合同，实际上已经视为签订了无固定期限劳动合同。

2. 不满足签订无固定期限劳动合同条件的情况

若劳动者不满足上述法定情形，如新入职员工第一次劳动合同到期后未续签又重新签订，或者劳动者虽然在公司工作多年，但之前并未连续订立二次固定期限劳动合同，且不具备连续工作满十年的条件，那么由于其不具备法定的应当签订无固定期限劳动合同的条件，用人单位和劳动者可以协商决定劳动合同的期限。这既可以是固定期限劳动合同，也可以是以完成一定工作任务为期限的劳动合同。

3. 实际操作与注意事项

• 连续签订两次固定期限劳动合同后：若劳动合同已连续两次签订固定期限，并到达第三次续签时，根据相关法律规定，用人单位应当与劳动者签订无固定期限的劳动合同。
• 满一年未续签书面劳动合同的法律后果：若用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者签订书面劳动合同，则自动视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时，劳动者有权要求用人单位按照无固定期限劳动合同的相关规定履行义务。
• 无固定期限劳动合同并非“铁饭碗”：即使在签订了无固定期限劳动合同后，用人单位在符合法定情形下（如存在《劳动合同法》第三十九条、第四十条规定情形），仍然有权解除劳动合同。但用人单位需要依法支付经济补偿或赔偿金。
• 劳动者应主动维护自身权益：当劳动者符合签订无固定期限劳动合同的条件时，应主动提出或同意续签无固定期限劳动合同，以确保自身合法权益得到保障。若用人单位拒绝签订无固定期限劳动合同，劳动者可以向劳动争议仲裁机构或人民法院提起诉讼或申请仲裁。

综上所述，劳动合同到期未续签后再次签订时，是否应签订无固定期限劳动合同需依据具体法律规定和实际情况来判断。劳动者和用人单位都应充分了解相关法律条款，以确保合同的合法性和有效性。若您在此方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。