结论：公司监事是否与公司存在劳动关系，需根据具体情况综合判断，核心在于监事是否向公司提供日常劳动并从公司领取工资报酬。以下从不同角度详细分析：
一、构成劳动关系的情形
监事兼任公司其他职务：
- 若监事同时担任公司具体工作岗位（如财务、业务等），接受公司的日常管理、指挥和监督，按照公司规章制度上下班，并从公司领取工资报酬，则与公司存在劳动关系。
- 例子：某公司员工被选举为监事，同时负责公司的财务工作，每月领取固定工资，此时该监事与公司构成劳动关系。
职工监事：
- 职工监事由公司职工民主选举产生，本身就是公司员工的一部分，因此与公司存在劳动关系。
- 法律依据：根据《公司法》及相关规定，职工监事在履行监督职责的同时，也享有公司员工的各项权益。
二、不构成劳动关系的情形
股东担任监事：
- 若监事仅基于股东身份被选任，不参与公司日常经营管理，不接受公司的劳动管理，也不从公司领取除监事津贴外的劳动报酬，则与公司不构成劳动关系。
- 例子：某公司大股东被选为监事，仅定期参加监事会会议，对公司重大决策和财务状况进行监督，不参与具体业务工作，此时该监事与公司不构成劳动关系。
外部人员担任监事：
- 公司为加强监督管理，聘请具有专业知识和经验的外部人员担任监事。外部监事有本职工作，仅按约定时间和方式对公司进行监督检查，不接受公司日常管理，公司支付的是监事费用而非劳动报酬，此时也不构成劳动关系。
- 例子：某律师事务所合伙人被聘请为某公司监事，每月仅参加一次监事会会议，领取监事津贴，不参与公司日常管理，此时该监事与公司不构成劳动关系。
三、特殊情况下的考虑
原公司高管转任监事：
- 对于原本为公司高管后转任监事的情况，若未与公司解除劳动关系且对劳动报酬未有新的约定，则其劳动报酬标准应结合实际工作内容，参考同类职工报酬或当地职工月平均工资标准来确定。
- 分析：此时需综合考虑监事的实际工作内容、报酬来源及性质等因素，以判断其与公司是否存在劳动关系。
兼任非高管职务的监事：
- 若监事同时兼任公司非高管的其他职务并从事相关劳动，则其兼任职务的报酬属于劳动报酬范畴，应受劳动法规范。
- 分析：此时监事不仅履行监督职责，还作为公司员工参与公司的日常运营，因此与公司存在劳动关系。
四、法律建议
明确合同内容：
- 公司在与监事签订合同时，应明确双方的权利义务关系，包括监事的职责、报酬来源及性质等，以避免后续纠纷。
完善公司制度：
- 公司应完善内部管理制度，明确监事的选举、任免、职责及报酬等事项，确保监事的履职行为符合法律法规和公司章程的规定。
及时咨询法律专业人士：
- 若公司或监事对双方之间的法律关系存在疑虑，应及时咨询法律专业人士，以获得准确的法律意见和指导。
总结：公司监事是否与公司存在劳动关系，需根据具体情况综合判断。在判断时，应重点关注监事的职责、报酬来源及性质、是否接受公司日常管理等因素。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。