针对您在私人棋牌室工作且未签合同被辞退的情况，首先明确结论：您仍然有权维护自己的合法权益，包括要求支付应得的工资、可能的经济补偿等。以下是从不同角度为您详细分析：
一、未签合同的影响与应对
未签合同不等于没有劳动关系：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，即使未签订书面劳动合同，只要双方存在事实上的劳动关系，劳动者就享有相应的权益。因此，您在私人棋牌室的工作经历，即使没有书面合同，也构成了事实上的劳动关系。
可要求支付双倍工资（在特定条件下）：
- 如果您在棋牌室工作超过一个月且未签订书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条，您有权要求棋牌室支付自用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日期间的双倍工资。但需注意，这一权利的行使通常有时效限制，且需要您提供证据证明劳动关系及工作时间。
二、被辞退的权益保障
要求支付应得工资：
- 无论是否签订书面合同，棋牌室都应支付您工作期间的应得工资。如果棋牌室拒绝支付，您可以通过劳动仲裁等途径维护自己的权益。
经济补偿的可能性：
- 如果棋牌室无正当理由辞退您，且您不存在过错，根据《劳动合同法》的相关规定，您可能有权要求棋牌室支付经济补偿。经济补偿的具体金额取决于您的工作年限和工资水平。
- 计算公式：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
非法辞退的赔偿：
- 如果棋牌室的辞退行为构成非法辞退（如无正当理由、未提前通知等），您除了可以要求经济补偿外，还可能有权要求赔偿金。赔偿金的具体金额通常为经济补偿的两倍，但具体需根据实际情况和法律规定判断。
三、维权途径与建议
收集证据：
- 在维权过程中，证据是关键。您应尽可能收集与劳动关系相关的证据，如工作证、工资条、工作记录、同事证言等，以证明您与棋牌室之间存在事实上的劳动关系及您的工作情况。
协商与调解：
- 在正式提起劳动仲裁前，您可以尝试与棋牌室进行协商或寻求第三方调解，以和平解决纠纷。这有助于节省时间和成本，并可能达成双方都能接受的解决方案。
提起劳动仲裁：
- 如果协商和调解无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会提起劳动仲裁申请。在申请过程中，您需要提交相关证据和申请书，并按照仲裁委员会的要求参与仲裁程序。
寻求法律援助：
- 如果您在维权过程中遇到困难或需要法律帮助，可以向我咨询或寻求其他专业律师的协助。我将根据您的具体情况提供针对性的法律建议和支持。
最后，建议您在维权过程中保持冷静和理性，依法维护自己的权益。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。