被刑事拘留后，检察院给了法定不起诉决定，在一定条件下是可以申请国家赔偿的。以下我将从多个角度详细分析这一情况：
一、申请国家赔偿的法律依据
根据《中华人民共和国国家赔偿法》第十七条，行使侦查、检察、审判职权的机关以及看守所、监狱管理机关及其工作人员在行使职权时，若存在以下侵犯人身权情形之一，受害人有取得赔偿的权利：
- 违反刑事诉讼法的规定对公民采取拘留措施的，或者依照刑事诉讼法规定的条件和程序对公民采取拘留措施，但是拘留时间超过刑事诉讼法规定的时限，其后决定撤销案件、不起诉或者判决宣告无罪终止追究刑事责任的。
- 对公民采取逮捕措施后，决定撤销案件、不起诉或者判决宣告无罪终止追究刑事责任的。
在您的情况下，如果检察院作出了法定不起诉决定，且该决定符合上述条件之一（如错误拘留或拘留时间超限），那么您有权申请国家赔偿。
二、申请国家赔偿的具体情形
错误拘留：
- 如果公安机关在不符合刑事诉讼法规定的条件或程序的情况下对您采取了拘留措施，且案件后续被检察院决定不起诉，那么您有权申请国家赔偿。
拘留时间超限：
- 刑事诉讼法对拘留期限有严格限制。如果拘留时间超出了法定期限，且案件后续被检察院决定不起诉，您同样有权要求国家赔偿。
三、不可以要求赔偿的情形
尽管在某些情况下刑拘后不起诉可以要求赔偿，但以下情形除外：
因公民自己故意作虚伪供述或伪造其他有罪证据被羁押：
- 如果您为给真正犯罪人顶罪或出于其他目的，故意向司法机关作虚假有罪供述，导致被刑事拘留，即使案件后续不起诉，也不能要求国家赔偿。
依照刑法规定不负刑事责任的人被羁押：
- 这包括已满十四周岁不满十六周岁、已满十二周岁不满十四周岁的人在特定情形下才负刑事责任，以及精神病人在不能辨认或控制自己行为时造成危害结果不负刑事责任的情况。这些不负刑事责任的人被羁押时，国家不承担赔偿责任。
依照刑事诉讼法规定不追究刑事责任的人被羁押：
- 如情节显著轻微、危害不大不认为是犯罪的；犯罪已过追诉时效期限的；经特赦令免除刑罚的等情形。在这些情形下被羁押的人不能要求国家赔偿。
四、申请赔偿的程序与注意事项
赔偿义务机关：
- 在您的情况下，赔偿义务机关通常是作出拘留决定的公安机关或作出不起诉决定的检察院（如果涉及逮捕措施）。但具体需根据案件情况确定。
申请流程：
- 您需要向赔偿义务机关提交赔偿申请书及相关证据材料，如拘留通知书、不起诉决定书等。
- 赔偿义务机关应在收到申请之日起两个月内作出是否赔偿的决定，并制作赔偿决定书或书面通知您。
后续救济：
- 如果您对赔偿决定不满或未获回应，可以向上一级机关申请复议或向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
五、实际建议
收集证据：
- 在申请国家赔偿前，务必收集好所有相关证据材料，如拘留通知书、不起诉决定书、经济损失证明等。这些证据将对您申请赔偿起到关键作用。
咨询专业意见：
- 虽然我作为专业律师已经给出了详细的解答，但每个案件的具体情况都有所不同。因此，在申请国家赔偿前，建议您进一步向我咨询，以便更准确地了解您的权益和申请流程。
关注时效：
- 申请国家赔偿也有时效限制。请务必在法定时效内提出申请，以免丧失赔偿权利。
综上所述，被刑事拘留后检察院给了法定不起诉决定，在一定条件下是可以申请国家赔偿的。但具体能否获得赔偿还需根据案件情况和相关法律法规进行判断。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。