结论：员工在合同到期解除后，是有权要求公司提供其持有的劳动合同的。
法律背景与解释：
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同是劳动者与用人单位确立劳动关系、明确双方权利和义务的协议。该法第十六条明确规定：“劳动合同由用人单位与劳动者协商一致，并经用人单位与劳动者在劳动合同文本上签字或者盖章生效。劳动合同文本由用人单位和劳动者各执一份。”这一条款明确了劳动合同的文本应当由双方各执一份，以确保双方都能对合同内容有清晰的了解，并在需要时作为证据使用。
员工权利与救济途径：
要求提供合同：如果员工在合同到期解除后，发现用人单位未按照法律规定提供其应持有的劳动合同文本，员工有权向用人单位提出要求，要求其提供一份完整的劳动合同文本。这是员工的合法权利，用人单位应当予以配合。
投诉与举报：如果用人单位拒绝提供或无法提供劳动合同文本，员工可以向当地的劳动行政部门进行投诉或举报。劳动行政部门在接到投诉或举报后，会进行调查核实，并根据情况对用人单位进行相应的处罚。
法律诉讼：在极端情况下，如果用人单位的行为严重侵犯了员工的合法权益，员工还可以考虑通过法律诉讼的方式来维护自己的权益。虽然这种情况相对较少，但法律诉讼是一种有效的救济途径，可以确保员工的权益得到最大程度的保护。
建议与注意事项：
保留证据：员工在要求用人单位提供劳动合同文本时，应当注意保留相关证据，如与用人单位的沟通记录、工作证明等，以便在需要时作为证据使用。
及时沟通：如果员工发现用人单位未提供劳动合同文本，应当及时与用人单位进行沟通，明确表达自己的诉求和期望。通过友好协商的方式解决问题，往往能够取得更好的效果。
了解法律：员工在维护自己权益的过程中，应当了解相关的法律法规和政策规定，以便更好地运用法律武器来保护自己。
可能后果：
如果用人单位未按照法律规定提供劳动合同文本，可能会面临劳动行政部门的处罚，如罚款、责令改正等。同时，这种行为也可能影响用人单位的信誉和形象，对其未来的招聘和用工产生不利影响。因此，用人单位应当严格遵守法律法规的规定，确保劳动合同的合法性和有效性。
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