结论：事业单位招人后，员工已上班但三个月未签合同，合同签订日期原则上应按上班那天开始计算，且事业单位可能面临法律责任。

分析如下：

一、合同签订日期的确定

根据《中华人民共和国劳动合同法》第七条：“用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。用人单位应当建立职工名册备查。”以及第十条：“建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。”

1. 用工之日即劳动关系建立之日：员工上班的那一天，即视为用工之日，也是与事业单位建立劳动关系之日。
2. 合同签订期限：事业单位应在用工之日起一个月内与员工签订书面劳动合同。若未按时签订，则违反了法律规定。
3. 合同签订日期的追溯：虽然合同未在用工之日立即签订，但合同签订后，其效力应追溯至用工之日，即合同签订日期原则上应按上班那天开始计算（实际签订日期可能晚于此，但合同内容应涵盖从用工之日起的劳动关系）。不过，从实际操作和证据留存的角度，建议合同中明确写明“自用工之日起建立劳动关系”或类似表述，以避免争议。

二、事业单位未按时签订合同的法律责任

若事业单位未在用工之日起一个月内与员工签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”

1. 双倍工资支付：事业单位需向员工支付从用工之日起满一个月的次日至补订书面劳动合同的前一日期间的双倍工资。
2. 无固定期限劳动合同：若用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。

三、建议与措施

1. 及时签订合同：事业单位应尽快与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
2. 补签合同并注明日期：若已超过一个月未签订合同，事业单位在补签合同时，应注明合同签订日期（实际签订日）及劳动关系建立日期（用工之日），并确保合同内容合法合规。
3. 支付双倍工资（如适用）：若因未按时签订合同而需支付双倍工资，事业单位应依法支付，以避免法律纠纷。

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