结论：员工未签合同工作16个月后投诉您，您可能面临支付双倍工资差额、补签劳动合同或承担其他法律责任的风险。不过，具体责任和后果需根据实际情况判断，以下为您详细分析。
一、未签劳动合同的法律后果
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果员工已经工作了16个月，而您一直未与其签订书面劳动合同，那么您可能需要支付员工从第二个月起至第12个月（共11个月）的双倍工资差额。
二、可能的法律责任与应对措施
支付双倍工资差额：
- 如前所述，您可能需要支付员工11个月的双倍工资差额。这是基于《劳动合同法》第八十二条的明确规定。
- 应对措施：尽快与员工协商补签劳动合同，并就双倍工资差额进行协商，看是否能够达成一致意见。如果协商不成，员工可能会申请劳动仲裁，届时您需准备相关证据（如工资发放记录、工作记录等）来应对仲裁。
补签劳动合同：
- 即使员工已经工作了16个月，您仍然可以与其补签劳动合同。补签后，双方的权利义务将按照新签订的劳动合同执行。
- 应对措施：主动与员工沟通，提出补签劳动合同的建议，并明确双方的权利义务。在补签合同时，注意合同条款的合法性和合理性，避免未来产生纠纷。
其他法律责任：
- 如果员工因未签劳动合同而提出解除劳动关系，并要求经济补偿，您可能需要根据《劳动合同法》的相关规定支付经济补偿。
- 应对措施：了解员工的真实意图，如果员工确实希望解除劳动关系，您可以与其协商经济补偿的金额和支付方式。如果协商不成，同样需要准备应对劳动仲裁或诉讼。
三、实际案例与启示
在实际操作中，因未签劳动合同而引发的劳动纠纷屡见不鲜。有些用人单位因为忽视劳动合同的签订，最终支付了高额的双倍工资差额和经济补偿。因此，我建议您务必重视劳动合同的签订工作，确保与每一位员工都签订书面劳动合同，以避免不必要的法律风险。
四、建议与总结
- 立即行动：尽快与员工沟通，了解其诉求，并主动提出补签劳动合同或协商解决方案。
- 准备证据：无论协商还是仲裁，都需要准备充分的证据来支持自己的观点。因此，建议您提前整理好工资发放记录、工作记录等相关证据。
- 咨询专业意见：如果您对劳动法律法规不熟悉或对处理此类纠纷感到困惑，可以随时向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。
总之，未签劳动合同工作16个月后员工投诉您，确实可能给您带来一定的法律风险。但只要您积极应对、主动沟通，并寻求专业的法律帮助，就一定能够妥善解决这一问题。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。