结论前置：员工签署两次三年合同后，第三次签署的并不自动是无固定期限合同，而是需根据劳动者与用人单位的协商结果及具体法律规定来确定。
详细分析如下：
一、应当签订无固定期限劳动合同的情况
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当满足以下条件时，用人单位应当与劳动者订立无固定期限劳动合同：
连续订立两次固定期限劳动合同：员工与用人单位已经连续签订了两次固定期限的劳动合同，且每次合同期限均为三年，这满足了“连续订立两次固定期限劳动合同”的条件。
员工无过错：在这两次合同履行期间，员工没有出现《劳动合同法》第三十九条规定的过错性辞退情形（如试用不合格、严重违反规章制度等），以及第四十条第一项、第二项规定的无过失性辞退情形（如因病不能工作、不胜任工作等）。若员工存在这些情形，用人单位有权不签订无固定期限劳动合同。
员工提出或同意续订：在第二次合同到期后，员工提出续订劳动合同或同意续订，并且没有明确提出要订立固定期限劳动合同。若员工主动提出订立固定期限劳动合同，用人单位可以尊重其选择。
举例：假设员工小李在某公司连续签订了两次三年的固定期限劳动合同，且工作期间表现良好，无违规违纪行为。当第二次合同到期时，小李提出续订劳动合同，且未提出订立固定期限劳动合同的要求，此时公司应当与小李签订无固定期限劳动合同。
二、可以不签订无固定期限劳动合同的情况
尽管存在上述法定条件，但在以下情况下，用人单位可以与员工签订固定期限劳动合同：
举例：假设员工小张与公司连续签订了两次三年的固定期限劳动合同后，因个人职业规划等原因，主动向公司提出希望再签订一份固定期限劳动合同。在此情况下，公司可以与小张协商一致，签订固定期限劳动合同。
三、实际操作中的注意事项与建议
明确沟通：在续签合同时，员工应与用人单位明确沟通合同类型及期限，确保双方对合同内容有清晰的认识。
了解公司规定：部分公司可能有自己的内部规定或政策关于劳动合同类型的选择，员工在续签前应了解清楚，以便做出更合适的选择。
法律保障：如果用人单位违反法律规定，拒绝与符合条件的员工签订无固定期限劳动合同，员工有权向劳动仲裁机构或法院申请维权。
总结来说，员工签署两次三年合同后，第三次签署的并不自动是无固定期限合同。是否签订无固定期限劳动合同，取决于员工的意愿、用人单位的同意以及双方的协商结果。在实际操作中，建议员工和用人单位在签订劳动合同前充分沟通，明确各自的需求和期望，以确保合同的签订符合法律法规的规定，并维护双方的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。