结论前置：农民工工伤住院，老板不管的情况下，是可以起诉的。以下从多个角度为你详细分析：

一、法律关系与责任主体

根据《工伤保险条例》等相关法律法规，农民工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。老板作为用人单位，有义务为农民工缴纳工伤保险，并在农民工发生工伤时，承担相应的赔偿责任。如果老板未缴纳工伤保险，那么农民工的工伤赔偿费用应由老板自行承担。因此，从法律关系上看，老板对农民工的工伤负有不可推卸的责任。

二、起诉的法律依据

1. 《工伤保险条例》：该条例明确规定了工伤的认定、赔偿等事项，为农民工维权提供了有力的法律保障。如果老板不履行赔偿义务，农民工可以依据该条例向法院提起诉讼。
2. 《劳动争议调解仲裁法》：该法规定了劳动争议的调解、仲裁和诉讼程序。农民工在工伤赔偿问题上与老板发生争议时，可以先向劳动争议调解组织申请调解，调解不成的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，还可以向法院提起诉讼。

三、起诉的流程与注意事项

1. 收集证据：农民工在起诉前，需要收集相关证据，如工伤认定书、医疗费用发票、工资单等，以证明自己的工伤事实和赔偿金额。
2. 确定被告：农民工需要明确起诉的对象，即老板或用人单位。如果老板是个人，则直接起诉老板；如果老板是公司或企业，则起诉该公司或企业。
3. 撰写起诉状：农民工需要撰写起诉状，明确自己的诉讼请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
4. 提交法院：农民工将起诉状和相关证据材料提交给有管辖权的法院，并缴纳诉讼费用。
5. 参与诉讼：农民工需要积极参与诉讼过程，包括出庭、举证、质证等，以维护自己的合法权益。

注意事项：

• 农民工在起诉前，可以尝试与老板进行协商，看是否能够达成赔偿协议。如果协商不成，再考虑起诉。
• 农民工在起诉时，要注意诉讼时效的问题。一般来说，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，农民工要在时效期间内提起诉讼或申请仲裁。
• 农民工在起诉时，如果经济困难，可以向法律援助机构申请法律援助，以获得免费的法律服务。

四、可能的法律后果

如果农民工起诉老板并胜诉，法院将判决老板承担相应的赔偿责任，包括医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入等。如果老板拒不履行判决，农民工还可以向法院申请强制执行。

总结与建议：农民工在工伤住院后，如果老板不管不问，完全可以依法起诉老板来维护自己的合法权益。在起诉前，要收集好相关证据，明确诉讼请求和事实理由，并积极参与诉讼过程。如果遇到法律难题或经济困难，可以向我咨询或申请法律援助。