当劳动仲裁申请人病故时，劳动仲裁程序的处理方式及后续步骤可以归纳如下：
劳动仲裁程序的中止或终止：
- 中止情形：若申请人病故时，劳动仲裁程序尚未终结，且申请人的权利义务承受人（如继承人）明确表示愿意继续参与仲裁程序，那么劳动仲裁程序可以中止，待权利义务承受人明确并参与后继续进行。但这种情况较为特殊，实践中更多依据的是终止后的继承处理。
- 终止情形：根据《劳动人事争议仲裁办案规则》的相关规定，仲裁案件涉及当事人死亡，需要等待继承人表明是否参加仲裁的，仲裁委员会可以决定中止案件审理；若无继承人或继承人放弃权利，或者继承人未在规定时间内表明是否参加仲裁，仲裁程序则可能终止。在大多数情况下，申请人病故且未明确继承人参与时，劳动仲裁程序会倾向于终止。
继承人参与仲裁或后续诉讼：
- 继承人参与：若申请人有继承人，且继承人愿意继续参与劳动仲裁程序，那么继承人需要向仲裁委员会提交相关证明文件（如死亡证明、继承关系证明等），并表明愿意继承申请人的权利义务。此后，仲裁程序将继续进行，但仲裁主体将变更为继承人。
- 后续诉讼：若劳动仲裁程序因申请人病故而终止，且申请人的权益未得到充分保障，继承人可以在仲裁程序终止后，根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的相关规定，向人民法院提起诉讼，以维护自身合法权益。
具体操作步骤：
- 提交死亡证明：申请人的继承人或相关利害关系人需要向劳动仲裁委员会提交申请人的死亡证明，以证明申请人已经病故。
- 表明参与意愿：若继承人愿意继续参与仲裁程序，需向仲裁委员会提交书面申请，并附上相关证明文件。
- 等待仲裁委员会决定：仲裁委员会将根据具体情况决定是否中止或终止仲裁程序，并通知相关当事人。
- 参与后续程序：若仲裁程序中止或终止后，继承人需要参与后续的诉讼程序，应按照人民法院的指引进行操作。
注意事项：
- 及时沟通：在申请人病故后，其继承人或相关利害关系人应及时与劳动仲裁委员会沟通，了解仲裁程序的进展情况，并表明参与意愿。
- 准备证明文件：继承人或相关利害关系人应准备好相关证明文件，如死亡证明、继承关系证明等，以便在需要时提交给仲裁委员会或人民法院。
- 关注时效：在劳动仲裁程序终止后，若继承人打算提起诉讼，应注意诉讼时效的问题，以免错过维权时机。
示例说明：
假设张某作为劳动仲裁申请人，在仲裁程序进行过程中不幸病故。张某的继承人李某得知此事后，应及时向劳动仲裁委员会提交张某的死亡证明，并表明自己愿意继续参与仲裁程序。若仲裁委员会认为符合中止条件且李某愿意参与，则可能中止仲裁程序；若认为不符合中止条件或李某未表明参与意愿，则可能终止仲裁程序。若仲裁程序终止且张某的权益未得到保障，李某可以在规定时间内向人民法院提起诉讼。
总结与建议：
当劳动仲裁申请人病故时，其继承人或相关利害关系人应积极与劳动仲裁委员会沟通，了解仲裁程序的进展情况，并根据实际情况决定是否继续参与仲裁程序或提起诉讼。在此过程中，务必准备好相关证明文件，并关注诉讼时效等问题。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。