当遇到劳务派遣单位不再继续经营，而用工单位面临如何处理与被派遣劳动者关系的问题时，以下是一系列清晰、详细且具有深度的处理建议：

一、明确法律关系与责任

首先，需要明确的是，劳务派遣单位作为用人单位，与被派遣劳动者之间存在劳动合同关系，负有支付劳动报酬、提供劳动条件等义务。即使劳务派遣单位停止经营，其与被派遣劳动者的劳动合同关系并不自动解除，相关责任仍需承担。同时，用工单位作为实际使用劳动者的单位，也需根据劳务派遣协议和法律规定，承担相应的责任。

二、与劳务派遣单位协商

1. 了解停止经营原因：用工单位应首先与劳务派遣单位沟通，了解其停止经营的具体原因，以及是否有计划对被派遣劳动者进行安置或补偿。
2. 协商解决方案：在了解情况后，用工单位可以与劳务派遣单位协商，探讨可能的解决方案，如由劳务派遣单位支付经济补偿金后解除劳动合同，或者由用工单位直接接收部分被派遣劳动者等。

三、保障被派遣劳动者权益

1. 支付报酬：根据《劳动合同法》第五十八条，被派遣劳动者在无工作期间，劳务派遣单位应按照所在地人民政府规定的最低工资标准支付报酬。若劳务派遣单位无法支付，用工单位在协商一致的情况下，可考虑暂时垫付，并保留相关证据以便后续追偿。
2. 安排工作：若用工单位有能力且愿意继续使用部分被派遣劳动者，可与劳务派遣单位协商，直接接收这些劳动者，并重新签订劳动合同或变更原劳务派遣协议。
3. 提供必要协助：用工单位应协助被派遣劳动者办理与劳务派遣单位解除劳动合同的相关手续，如出具离职证明、转移社保关系等。

四、法律维权途径

1. 申请劳动仲裁：若劳务派遣单位无法履行其义务，且用工单位与劳务派遣单位之间的协商未果，被派遣劳动者或用工单位（在代表被派遣劳动者利益的情况下）可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求劳务派遣单位承担相应责任。
2. 提起诉讼：对仲裁结果不满意的，可在规定时间内向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自身权益。
3. 向劳动监察部门投诉举报：若发现劳务派遣单位存在违法行为，如未支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等，可向当地劳动监察部门投诉举报，由劳动监察部门依法进行调查处理。

五、注意事项

1. 保留证据：在整个处理过程中，用工单位和被派遣劳动者都应积极收集并保存相关证据，如劳务派遣协议、工资支付记录、沟通记录等，以便有力证明自己的权益受到侵害。
2. 合法合规处理：在处理与劳务派遣单位的关系时，用工单位应确保行为合法合规，避免采取过激手段或违反法律法规的行为。
3. 及时咨询专业法律意见：由于劳务派遣关系涉及复杂的法律问题，建议用工单位在处理过程中及时咨询专业律师或法律援助机构，以获取更具体的法律建议和支持。

综上所述，当劳务派遣单位不再继续经营时，用工单位应通过与劳务派遣单位协商、保障被派遣劳动者权益、采取法律维权途径等方式来妥善处理相关问题。在整个过程中，保留证据和咨询专业法律意见至关重要。