结论前置：根据您描述的情况，您有权要求用人单位支付未签订书面劳动合同期间的双倍工资差额，但需注意时效问题；同时，对于已签订劳动合同后的工作年限，一般不能直接要求经济补偿，除非存在法定情形。以下为详细分析：
一、关于未签订书面劳动合同的双倍工资差额
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
具体分析：
- 您刚入职的9个月未签订书面劳动合同，根据上述规定，用人单位应当向您支付这9个月的双倍工资差额（即除正常工资外，再支付9个月的工资作为补偿）。
- 但需注意，申请劳动仲裁要求支付双倍工资差额的时效为一年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，您需尽快行动，以免超过时效。
计算方式：
- 假设您这9个月的月工资为X元，则用人单位应支付的双倍工资差额为：\(9 \times X\)元。
二、关于已签订劳动合同后的经济补偿
一般原则：
- 对于已签订劳动合同后的工作年限，除非存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十八条规定的用人单位过错情形（如未提供劳动保护、未及时足额支付劳动报酬等），或者双方协商一致解除劳动合同，或者用人单位依照本法第四十条、第四十一条规定解除劳动合同的，否则劳动者一般不能直接要求用人单位支付经济补偿。
特殊情况：
- 如果您与用人单位在签订劳动合同后，因用人单位存在过错或双方协商一致等原因解除劳动合同，且符合《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条规定的支付经济补偿的情形，则您可以要求用人单位支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式根据您在用人单位的工作年限和月工资确定，具体为：每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。但需注意，对于月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、建议与行动
收集证据：
- 尽快收集能够证明您与用人单位存在劳动关系、未签订书面劳动合同以及月工资数额的证据，如工作证、工资条、考勤记录、同事证言等。
咨询与申请：
- 建议您尽快咨询专业律师（即向我咨询，我擅长处理婚姻家庭、合同纠纷领域的问题），了解具体的法律程序和注意事项。
- 如果决定申请劳动仲裁，需在时效内准备相关材料并提交申请。
协商与调解：
- 在申请劳动仲裁前，您也可以尝试与用人单位进行协商或寻求劳动调解组织的帮助，以达成和解协议。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。