结论：猫跑出去被打死，法律责任的承担需视具体情况而定，可能涉及侵权责任、动物饲养人或管理人的责任，以及是否存在第三方过错等因素。以下从不同角度进行分析：
一、侵权责任角度
若打死猫的行为构成侵权：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。如果打死猫的行为是出于故意或过失，且该行为直接导致了猫的死亡，那么行为人可能需要承担侵权责任，包括赔偿猫的饲养人或管理人的经济损失（如购买猫的费用、饲养费用等）以及可能的精神损害赔偿（如果饲养人或管理人因猫的死亡而遭受了精神痛苦）。
若打死猫的行为不构成侵权：
- 如果打死猫的行为是出于正当防卫、紧急避险等法定免责事由，或者行为人没有过错（如误杀、意外事件等），那么行为人可能不需要承担侵权责任。但需要注意的是，正当防卫和紧急避险的适用条件较为严格，需符合法律规定的情形。
二、动物饲养人或管理人责任角度
饲养人或管理人未尽到管理义务：
- 如果猫的饲养人或管理人未尽到对猫的管理义务，如未将猫妥善看管导致其跑出并造成他人损害或被打死，那么饲养人或管理人可能需要承担一定的责任。这种责任可能表现为对打死猫的行为人的部分或全部赔偿责任的分担，或者因未尽到管理义务而受到行政处罚（如罚款、警告等）。但具体责任承担需根据实际情况和法律规定进行判断。
饲养人或管理人已尽到管理义务：
- 如果饲养人或管理人已经尽到了对猫的管理义务，如将猫妥善看管在室内或封闭的庭院内，但猫仍因不可抗力或第三方原因（如他人故意破坏围栏导致猫逃出）而跑出并被打死，那么饲养人或管理人可能不需要承担责任。但在此情况下，饲养人或管理人仍需积极配合相关部门调查处理，并提供必要的证据和协助。
三、第三方过错角度
第三方故意打死猫：
- 如果猫是被第三方故意打死的，且该第三方具有完全民事行为能力，那么该第三方应承担全部侵权责任。饲养人或管理人可以向该第三方主张赔偿损失，包括猫的购买费用、饲养费用以及可能的精神损害赔偿等。
第三方过失打死猫：
- 如果猫是被第三方过失打死的（如驾驶车辆时不慎撞死），那么该第三方可能需要根据其过错程度承担相应的赔偿责任。饲养人或管理人可以与该第三方协商赔偿事宜，或通过法律途径解决纠纷。
建议与行动指南：
- 收集证据：如果猫被打死，饲养人或管理人应尽快收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明猫的死亡原因和责任归属。
- 协商处理：在责任明确的情况下，饲养人或管理人可以与打死猫的行为人或第三方进行协商处理，寻求合理的赔偿方案。
- 法律途径：如果协商无果或责任归属存在争议，饲养人或管理人可以通过法律途径解决纠纷，如向法院提起诉讼或申请仲裁等。
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