在探讨公司没有工会的情况下如何开除员工这一问题时，我们首先要明确的是，无论公司是否设有工会，辞退员工都必须严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，确保整个过程的合法性和公正性。以下是从用人单位和劳动者两个角度出发的详细解答：
用人单位角度
明确并合法的辞退理由：
- 过失性辞退：如果员工存在严重违反公司规章制度、失职营私舞弊等行为，根据《劳动合同法》第三十九条，公司有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 非过失性辞退：若员工因患病不能工作、不能胜任工作或劳动合同无法履行等情形，根据《劳动合同法》第四十条，公司需提前三十日书面通知员工，或额外支付一个月工资后解除劳动合同，并支付相应的经济补偿。
严格履行法定程序：
- 对于非过失性辞退，即使公司没有工会，也需提前通知员工，并按法律规定支付经济补偿。
- 如果涉及经济性裁员（如裁减二十人以上或占企业职工总数百分之十以上），公司需提前三十日向全体职工说明情况，听取意见后，向劳动行政部门报告裁减人员方案。
与员工沟通并准备文件：
- 在辞退过程中，公司应与员工进行坦诚对话，解释辞退原因和决策过程，保持透明度和诚实。
- 确保所有与辞退相关的文件（如辞退通知书、工作表现评估、违规记录等）完整准确，作为法律证据支持决策。
考虑法律风险并咨询专业意见：
- 在辞退员工前，公司应评估潜在的法律风险，并咨询专业的法律顾问或律师，以确保决策的合法性和合规性，避免法律纠纷。
劳动者角度
如果劳动者遭遇不合法辞退，可以采取以下措施来维护自己的权益：
与用人单位协商：
- 尝试与用人单位沟通，了解辞退原因和依据，要求说明辞退的合法性。若认为辞退不合法，可提出诉求，如恢复劳动关系或获得合理经济补偿。
收集证据：
- 收集劳动合同、工资条、工作证、考勤记录、辞退通知等与劳动关系相关的证据，以证明劳动关系及辞退事实。这些证据在后续的法律程序中将起到关键作用。
申请劳动仲裁：
- 若与用人单位协商不成，劳动者可在知道或应当知道权利被侵害之日起一年内向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁委员会将根据双方证据和相关法律法规进行裁决。
提起诉讼：
- 如果对仲裁结果不满意，劳动者可在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，进一步维护自身权益。
总结：无论公司是否设有工会，辞退员工都必须严格遵守法律法规，确保过程合法、公正、透明。对于用人单位而言，应明确辞退理由、履行法定程序、与员工充分沟通并准备相关文件；对于劳动者而言，在遭遇不合法辞退时，应积极采取措施，通过合法途径维护自己的合法权益。