结论：老板不给工人半天工资是违法的，因为这涉及到劳动者合法权益的保护，特别是关于工资支付的规定。

分析说明：

1. 法律依据：根据《中华人民共和国劳动法》和相关工资支付规定，劳动者提供了正常劳动，用人单位应当按照约定的工资标准支付给劳动者工资。在这个案例中，工人实际工作了三十九天，但老板只承认三十八天半，这明显与事实不符，也违反了法律规定。

2. 工资计算：工资是劳动者提供劳动的报酬，应当按照实际工作时间来计算。如果老板因为自己的记录或计算错误而少算工作时间，进而少发工资，这是不合法的。工人有权要求老板按照实际工作时间支付工资。

3. 维权途径：如果老板拒绝支付这半天的工资，工人可以通过多种途径来维护自己的合法权益。首先，可以尝试与老板进行协商，说明实际情况并要求支付工资。如果协商无果，可以向当地劳动监察部门投诉，由劳动监察部门进行调查并处理。此外，工人还可以选择通过法律途径解决，比如申请劳动仲裁或提起诉讼。

行动建议：

• 与老板沟通：首先尝试与老板进行沟通，明确表达自己的工作时间和应得工资，要求老板按照实际工作时间支付工资。
• 保留证据：如果老板拒绝支付，工人应保留好相关证据，如工作记录、考勤记录等，以便后续维权。
• 寻求法律帮助：如果无法通过协商解决问题，工人可以向当地劳动监察部门投诉或咨询专业律师，寻求法律帮助来维护自己的合法权益。

总之，老板不给工人半天工资是违法的，工人有权要求老板按照实际工作时间支付工资，并可以通过多种途径来维护自己的合法权益。