核心结论：工厂在您请病假时不同意并要求办理离职的做法，通常是不合法的。您有权依法享受病假待遇，工厂不能以此为由强制解除劳动合同。以下是具体分析：

1. 病假的法律保障
   根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因患病或非因工负伤需要停止工作医疗时，企业应根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予一定期限的医疗期（即病假）。医疗期内，企业不得随意解除劳动合同，且需支付病假工资（不得低于当地最低工资标准的80%）。若工厂未批准病假，可能涉嫌违反劳动法。

2. 工厂要求离职的合法性分析
   工厂以“不同意病假”为由要求您办理离职，属于单方解除劳动合同的行为。根据《劳动合同法》，企业单方解除劳动合同需符合法定情形（如严重违纪、不能胜任工作等），且需提前通知或支付经济补偿。若您仅因病假被要求离职，工厂的行为可能构成违法解除，您有权要求继续履行合同或主张赔偿金（2倍经济补偿）。

3. 应对建议

   • 保留证据：收集医院出具的病假证明、与工厂沟通的记录（如邮件、聊天记录）等，证明您已履行请假手续且符合病假条件。
     
   • 协商解决：与工厂沟通，明确拒绝违法解除的要求，提出继续履行合同或协商补偿方案。
     
   • 投诉或仲裁：若协商无果，可向当地劳动监察大队投诉，或申请劳动仲裁，主张违法解除的赔偿金及病假工资差额。
     

温馨提示：医疗期长度与您的工龄相关，具体可参考《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》第三条。若工厂存在其他违法行为（如未缴纳社保），可一并主张权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。