结论：劳动合同到期公司未提续签，员工不可以随时离职且直接找公司索赔，但根据具体情况，员工可能享有一定的权益和救济途径。

分析说明：

1. 劳动合同到期未续签的法律后果：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，如果用人单位未提出续签或者降低劳动合同约定条件导致劳动者不同意续签的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。但这一规定并不意味着员工可以随时离职并直接要求赔偿。
   • 劳动合同到期未续签，实际上构成了劳动合同的终止，而非员工单方面的离职。因此，员工不能简单地以“随时离职”来处理这种情况。

2. 员工离职的正确方式：

   • 即使劳动合同到期未续签，员工也应按照法律规定和公司规章制度办理离职手续。擅自离职可能给公司造成损失，同时也会影响员工的声誉和未来的职业发展。
   • 如果员工希望离职，建议与公司协商并达成一致意见，明确离职时间、离职手续以及经济补偿等事宜。

3. 员工可能享有的权益：

   • 经济补偿：如前所述，如果劳动合同到期未续签是由于用人单位的原因（如未提出续签或降低条件导致劳动者不同意续签），用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的计算标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。
   • 未签劳动合同的双倍工资赔偿（不适用本情况，但为全面说明列出）：如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，劳动者有权要求用人单位支付双倍工资的赔偿。但这一规定不适用于劳动合同到期未续签的情况。

4. 特殊情况下的处理：

   • 如果劳动合同到期时，公司存在违法行为（如未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等），员工可以根据《劳动合同法》第三十八条的规定，解除劳动合同并要求公司支付经济补偿。但这种情况下的离职是基于公司的违法行为，而非单纯的劳动合同到期未续签。

行动建议：

• 与公司协商：首先尝试与公司协商，明确离职时间、离职手续以及经济补偿等事宜。
• 保留证据：保留与劳动合同、工资支付、社保缴纳等相关的证据，以备不时之需。
• 寻求法律救济：如果与公司协商无果，或者公司存在违法行为，员工可以向当地劳动争议仲裁机构申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。

最终提醒：劳动合同到期未续签是一个复杂的问题，涉及多方面的法律权益和救济途径。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。