结论前置：在职员工在外单位做工发生伤害，本单位不可以完全不管，但具体责任承担需根据实际情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、劳动关系与工伤认定角度
劳动关系认定：
- 首先，需要明确员工与本单位以及外单位之间的劳动关系。如果员工与本单位存在劳动关系，同时与外单位存在兼职或劳务关系，那么员工在外单位做工时发生的伤害，可能涉及两个单位的责任问题。
- 根据《工伤保险条例》及相关规定，员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。这里的“工作时间”和“工作场所”通常指的是员工与本单位建立劳动关系时的工作时间和场所。然而，如果员工在外单位做工是受本单位指派或安排，且该工作与本单位业务相关，那么该伤害也可能被视为与本单位工作相关，从而可能构成工伤。
工伤认定与赔偿：
- 如果员工在外单位做工发生的伤害被认定为工伤，那么根据《工伤保险条例》，员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、伤残津贴、一次性工伤医疗补助金等。这些费用的支付责任通常由工伤保险基金承担，但如果本单位未为员工缴纳工伤保险，则这些费用需由本单位承担。
- 同时，如果外单位对员工的伤害存在过错（如未提供安全的工作环境、未采取必要的安全措施等），那么外单位也可能需要承担相应的赔偿责任。在这种情况下，员工可以选择向本单位或外单位主张权利，或者同时向两者主张权利（具体需根据实际情况和法律规定判断）。
二、劳务关系与侵权责任角度
劳务关系认定：
- 如果员工与外单位之间建立的是劳务关系（即员工为外单位提供劳务，外单位支付报酬），而非劳动关系，那么员工在外单位做工时发生的伤害，通常不适用工伤保险条例，而是适用侵权责任法等相关法律规定。
侵权责任承担：
- 在这种情况下，如果外单位对员工的伤害存在过错（如未尽到安全保障义务、未提供必要的安全防护措施等），那么外单位需要承担侵权责任，包括赔偿员工的医疗费、误工费、残疾赔偿金等。
- 同时，如果本单位对员工在外单位做工的情况知情且未尽到相应的管理责任（如未对员工进行必要的安全教育、未提醒员工注意安全等），那么本单位也可能需要承担一定的补充责任或连带责任（具体需根据实际情况和法律规定判断）。然而，这种责任通常不是主要的，而是辅助性的。
三、实际操作建议
及时报告与调查：
- 员工在外单位做工发生伤害后，应立即向本单位和外单位报告，并尽快进行事故调查，明确事故原因和责任方。
申请工伤认定：
- 如果员工与本单位存在劳动关系，且伤害可能构成工伤，那么应尽快向当地社会保险行政部门申请工伤认定。
协商与诉讼：
- 在明确责任方后，员工可以与责任方进行协商，寻求赔偿。如果协商不成，员工可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
总结：在职员工在外单位做工发生伤害时，本单位不能完全不管。具体责任承担需根据员工与本单位、外单位之间的劳动关系或劳务关系以及伤害发生的原因和过错程度等因素进行综合判断。如果遇到此类问题，建议员工及时咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。